- LG a
- LG b
- LG c
Cho hyperbol [H] xác định bởi phương trình \[y = {1 \over x}\]
LG a
Tìm phương trình tiếp tuyến [T] của [H] tại tiếp điểm A có hoành độ a [với a 0]
Lời giải chi tiết:
Với mọi x 0, ta có : \[f'\left[ x \right] = - {1 \over {{x^2}}}\]
Phương trình tiếp tuyến [T] tại điểm \[A\left[ {a;{1 \over a}} \right]\] là :
\[y -{1 \over a}= - {1 \over {{a^2}}}\left[ {x - a} \right]\] hay \[y = - {1 \over {{a^2}}}x + {2 \over a}\]
LG b
Giả sử [T] cắt trục Ox tại điểm I và cắt trục Oy tại điểm J. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến [T].
Lời giải chi tiết:
Tìm các giao điểm của [T] với hai trục tọa độ:
Cho x=0 thì \[y={2 \over a}\].
Cho y=0 thì x=2a.
Do đó \[I\left[ {2a;0} \right];\,J\left[ {0;{2 \over a}} \right]\]
Ta thấy:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_I} + {x_J}}}{2} = \frac{{2a + 0}}{2} = a = {x_A}\\
\frac{{{y_I} + {y_J}}}{2} = \frac{{0 + \frac{2}{a}}}{2} = \frac{1}{a} = {y_A}
\end{array} \right.\]
Nên \[A\left[ {a;{1 \over a}} \right]\] là trung điểm của đoạn IJ.
Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến [T] chính là đường thẳng IJ.
Ta chỉ cần lấy hai điểm I, J có tọa độ như trên và nối lại sẽ được tiếp tuyến cần tìm.
LG c
Chứng minh rằng diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[OI = \left| {2a} \right|,OJ = \left| {\frac{2}{a}} \right|\]
Diện tích tam giác OIJ là :
\[S = {1 \over 2}OI.OJ= {1 \over 2}\left| {2a.{2 \over a}} \right| = 2\] [đvdt]
Vì S không phụ thuộc vào a nên diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A ϵ [H]