Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA [ABCD], SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng [SBC] và [SDC] tạo với nhau góc 60˚.
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng [SAC] kẻ OO1vuông góc với SC.
Vậy góc giữa hai mp[SBC] và [SDC] bằng góc giữa hai đường thẳng BO1và DO1.
Mặt khác OO1 BD, OO1< OC [vì OC là cạnh huyền của \[\Delta O{O_1}C\] vuông tại O1] mà OC = OB nên \[\widehat {B{O_1}O} > 45^\circ .\]
Tương tự \[\widehat {D{O_1}O} > 45^\circ \] tức\[\widehat {B{O_1}D} >90^\circ \]
Như vậy hai mặt phẳng [SBC] và [SDC] tạo với nhau góc \[60^\circ \] khi và chỉ khi:
\[\widehat {B{O_1}D} =120^\circ \]\[ \Leftrightarrow\] \[\widehat {B{O_1}O} = 60^\circ \] [vì ΔBO1D cân tại O1]
\[ \Leftrightarrow BO = O{O_1}\tan 60^\circ \] \[\Leftrightarrow BO = O{O_1}\sqrt 3 \]
Ta có \[O{O_1} \bot SC\] nên \[\widehat {O{O_1}C} = {90^0}\]
Xét tam giác \[CO{O_1}\] vuông tại \[{O_1}\] có:
\[O{O_1} = OC\sin \widehat {OC{O_1}} = OC\sin \widehat {ACS}\] \[ = OC.{{SA} \over {SC}}\]
Như vậy : \[BO = O{O_1}\sqrt 3 \Leftrightarrow BO = \sqrt 3 .OC.{{SA} \over {SC}} \] \[\Leftrightarrow SC = \sqrt 3 .SA\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 .x \Leftrightarrow x = a\]
Vậy khi x = a thì hai mặt phẳng [SBC] và [SDC] tạo với nhau góc 60˚