- LG a
- LG b
Cho tam giác ABC và mặt phẳng [P]. Biết góc giữa mp[P] và mp[ABC] là φ [φ 90˚]; hình chiếu của tam giác ABC trên mp[P] là tam giác ABC. Chứng minh rằng
\[{S_{A'B'C'}} = {S_{ABC}}.\cos \varphi \]
Hướng dẫn. Xét hai trường hợp :
a] Tam giác ABC có 1 cạnh song song hoặc nằm trong mp[P].
b] Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp[P].
LG a
Tam giác ABC có một cạnh song song hoặc nằm trong mp[P]
Lời giải chi tiết:
Xét trường hợp tam giác ABC có một cạnh, chẳng hạn BC nằm trong mp[P]. Gọi A là hình chiếu của A trên mp[P].
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC [H ϵ BC] thì AH là đường cao của tam giác ABC và \[\widehat {AHA'} = \varphi ,A'H = AH\cos \varphi .\]
Ta có: \[{S_{A'BC}} = {1 \over 2}BC.A'H \] \[= {1 \over 2}BC.AH\cos \varphi = {S_{ABC.cos\varphi }}\]
Trường hợp cạnh BC của tam giác ABC song song với mp[P]. Xét mp[Q] chứa BC và song song với mp[P], gọi giao điểm của AA với mp[Q] là A1. Khi đó ta có ΔA1BC = ΔABC ; góc giữa mp[ABC] và mp[Q] bằng φ.
Do đó : \[{S_{A'B'C'}} = {S_{{A_1}BC}} = {S_{ABC }.\cos \varphi}\]
LG b
Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp[P].
Lời giải chi tiết:
Xét trường hợp tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp[P].
Ta có thể giả sử mp[P] đi qua điểm A sao cho các đỉnh B, C ở về cùng một phía đối với mp[P].
Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC và mp[P]; B, C lần lượt là hình chiếu của B, C trên [P] thì BC đi qua D.
Khi đó theo trường hợp a ta có :
\[\eqalign{ & {S_{ADC'}} = {S_{ADC.\cos \varphi }} \cr & {S_{ADB'}} = {S_{ABD.\cos \varphi }} \cr} \]
Trừ từng vế hai đẳng thức trên, ta có :
\[{S_{AB'C'}} = {S_{ABC.\cos \varphi }}\]
Vậy mọi trường hợp ta đều có :
\[{S_{A'B'C'}} = {S_{ABC.\cos \varphi }}\]