- LG a
- LG b
Cho phương trình: \[k{x^2} - 2\left[ {k + 1} \right]x + k + 1 = 0\]
LG a
Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.
Phương pháp giải:
Chia thành hai TH:
TH1: Kiểm tra k=0 có thỏa mãn hay không.
TH2: Xét \[k\ne 0\] thì: phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi phương trình có hai nghiệm trái dấu hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.
Lời giải chi tiết:
Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 \[\Leftrightarrow x = {1 \over 2}>0\] [nhận]
Với k 0, ta có:
Δ = [k + 1]2 k[k + 1] = k + 1
Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khiphương trình có hai nghiệm trái dấuhoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.
+ Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu
k[k + 1] < 0 -1 < k < 0
+ Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm dương
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta ' \ge 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k + 1 \ge 0 \hfill \cr
{{2[k + 1]} \over k} > 0 \hfill \cr
{{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ge - 1\\
\left[ \begin{array}{l}
k > 0\\
k < - 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
k > 0\\
k < - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow k > 0\]
+ Trường hợp 3: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương
Với x = 0 là nghiệm thì: \[k{.0^2} - 2\left[ {k + 1} \right].0 + k + 1 = 0 \]
\[\Leftrightarrow k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = - 1\]
Khi đó, phương trình trở thành x2= 0 x = 0 [không thỏa mãn]
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi \[ - 1 < k < 0\] hoặc \[k = 0\] hoặc \[k > 0\]
Kết hợp ta được k > -1.
LG b
Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.
Phương pháp giải:
Phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1
\[\Leftrightarrow\] phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \[{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\] \[\Leftrightarrow [{x_1} - 1][{x_2} - 1] < 0\]
Sau đó, áp dụng Viet thay vào điều kiện tìm k.
Lời giải chi tiết:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k + 1 > 0
\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k > - 1
\end{array} \right.\,\,\,[*]\]
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:
\[\eqalign{
&{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \cr
& \Leftrightarrow [{x_1} - 1][{x_2} - 1] < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - [{x_1} + {x_2}] + 1 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} - {{2[k + 1]} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 - 2k - 2 + k} \over k} < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{ - 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr} \]
Kết hợp với [*] ta được k>0.
Vậy giá trị k cần tìm là k > 0.