Đề bài
Cho góc vuông \[xOy\], điểm \[A\] thuộc tia \[Ox\], điểm \[B\] thuộc tia \[Oy.\] Đường trung trực của đoạn thẳng \[OA\] cắt \[Ox\] ở \[D\], đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \[OB\] cắt \[Oy\] ở \[E.\] Gọi \[C\] là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
a] \[CE = OD\]; b] \[CE CD\];
c] \[CA = CB\]; d] \[CA // DE\];
e] Ba điểm \[A, B, C\] thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
- Áp dụng tính chất: Nếu đường thẳng \[c\] cắt hai đường thẳng \[a, b\] và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau [hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau] thì \[a\] và \[b\] song song với nhau.
- Áp dụng tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm ở ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
- Áp dụng định lí: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Lời giải chi tiết
a] Nối \[ED\]. Ta có \[ EC // OD\] [vì cùng vuông góc với \[OB\]] nên \[\widehat {E_2}\]\[= \widehat {D_1}\] [so le trong].
Tương tự, ta cũng có \[DC // OE\] nên\[\widehat {E_1}\]\[=\widehat {D_2}\].
Xét \[\Delta DOE\] và \[\Delta ECD\], chúng có:
\[\widehat {E_1}\]\[=\widehat {D_2}\]; cạnh \[DE\] chung;\[\widehat {D_1}\]\[=\widehat {E_2}\]
Do đó \[\Delta DOE = \Delta ECD\] [g.c.g]. Suy ra \[CE=OD\].
b] Cũng do \[\Delta DOE = \Delta ECD\] [chứng minh trên] ta còn suy ra \[\widehat {O}\]\[=\widehat {ECD}\]mà\[\widehat {O}=90^{\circ}\] nên\[\widehat {ECD}=90^{\circ}\]. Vậy \[CE \perp CD\].
c] Xét\[\Delta CDA\] và\[\Delta BEC\]. Chúng có :
\[AD=CE,\] [cùng bằng \[OD\]];\[\widehat {CDA}\]\[=\widehat {BEC}=90^{\circ}\], \[CD=BE\] [cùng bằng \[EO\] do \[\Delta DOE = \Delta ECD\]]. Do đó \[\Delta CDA\] \[=\Delta BEC\][c-g-c]. Suy ra \[CA=CB\].
d] Xét \[\Delta CDA\] và \[\Delta DCE\]. Chúng có:
\[ AD = CE\], \[ \widehat {CDA} =\widehat {ECD} = 90^o \], cạnh\[CD\] chung.
Do đó \[CDA =DCE\] [c.g.c] suy ra \[\widehat {C_1} = \widehat {D_2}\]. Do đó\[CA // DE\] [vì có hai góc so le trong bằng nhau]
e] Tương tự câu d] ta có \[CB // DE\]. Như vậy qua điểm \[C\] có \[CA\] và \[CB\] cùng song song với \[DE\] nên theo tiên đề Ơclit, hai đường thẳng \[CA\] và \[CB\] trùng nhau. Do đó \[A, B, C\] là ba điểm thẳng hàng.