Đề bài
Hai điểm \[M\] và \[N\] cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \[xy.\] Lấy điểm \[L\] đối xứng với \[M\] qua \[xy.\] Gọi \[I\] là một điểm của \[xy.\] Hãy so sánh \[IM + IN\] với \[LN.\] [h.43]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng và bất đẳng thức tam giác.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, \[L\] đối xứng với \[M\] qua \[xy\] nên \[xy\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[ML\].
Do \[I\] thuộc \[xy\] nên \[I\] cách đều \[M\], \[L\] hay \[IM = IL\] [ theo tính chất đường trung trực của đoạn thẳng]. Bởi vậy
\[IM + IN = IL + IN\]
Gọi \[K\] là giao điểm của \[xy\] và \[LN\].
-Nếu \[I \ne K\] thì ta xét tam giác \[ILN\]. Theo bất đẳng thức tam giác ta có \[IL + IN > LN\] và do đó
\[IM + IN = IL + IN > LN\].
-Nếu \[I K\] thì ta có\[IL + IN = KL + KN = LN\] và do đó
\[IM + IN = IL + IN = LN\].
Tóm lại, nếu \[I\] khác \[K\] thì \[IM+IN>LN\], nếu \[I K\] thì\[IM + IN = LN.\]