Các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

CHUYÊN ĐỀ

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NÂNG CAO

– PHẦN II

I/ LÍ THUYẾT:

1/ Các phương pháp đã học lớp 8: [Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm hạng tử] 2/ Phương pháp tách hạng tử:

a/ Phân tích đa thức ax2 + bx + c ta tách bx thành b

1x + b2x sao cho b1b2 = ac.

+ Tìm tích ac

+Phân tích ac ra tích 2 số nguyên b1, b2 bất kỳ

+ Chọn cặp thừa số sao cho: b1 + b2 = ac.

Ví dụ: Phân tích 3x2 – 8x + 4 có a = 3; b = -8; c = 4

ac = 12 = 1.12 = 3.4 = 2.6 = [-1].[-12] = [-3].[-4] = [-2].[-6] ta chọn cặp số -2 và -6 vì [-2] + [-6] = [-8]

Nên: 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x[x – 2] – 2[x – 2] = [x – 2][3x – 2]

Lưu ý: Nếu a = 1 thì x2 + bx + c = [x + b

1][x + b2] với b1 + b2 = b và b1.b2 = c

b/ Tách hạng tử để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:

Ví dụ: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = [2x – 1]2 – 22 = [2x – 1 – 2][2x – 1 + 2] = [2x –

3][2x + 1]

c/ Đa thức từ bậc 3 trở lên ta thường sử dung theo cách tìm nghiệm của đa thức : “a gọi là nghiệm của đa thức f[x] nếu f[a] = 0” và khi a là nghiệm của đa thức f[x] thì f[x] chứa thừa số x – a; tức là ta tách các hạng tử sao cho cho có thừa số chung x – a.

+ Nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hạng tử tự do [hạng tử không chứa x]

+ Trường hợp đặc biệt nếu f[x] = anxn + an-1xn-1 + … + ax + a

* có tổng các hệ số: an + an-n + … + a = 0 thì x = 1 là nghiệm của f[x]

* Tổng hệ số cùa các số hạng bậc chẵn bằng tổng hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm của f[x].

Ta thấy f[3] = 0 nên x = 3 là nghiệp của đa thức đã cho. Hay đa thức trên chứa thừ số x – 3. Do đó ta có cách tách như sau:

4x3 – 13x2 + 9x – 18 = 4x3 – 12x2 – x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2[x – 3] – x[x – 3] + 6[x – 3]

= [x – 3][4x2 – x + 6] 3/ Phương pháp thêm bớt cùng một số hạng: a/ Thêm bớt để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:

Ví dụ: x4 + 81 = [2x2]2 + 92 + 36x2 – 36x2 = [2x2 + 9]2 – [6x]2 = [2x2 – 6x +9][2x2 + 6x + 9]

b/ Thên bớt cùng một số hạng đề xuất hiện thừa số chung: Ví dụ: x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1

= x[x6 – 1] + [x2 + x + 1] = x[x3 – 1][x3 + 1] + [x2 + x + 1]

= x[x3 + 1][x – 1] [x2 + x + 1] + [x2 + x + 1] = [x2 + x + 1][ x[x3 + 1][x – 1] + 1]

= [x2 + x + 1][x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1]

* Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+2 + x3n+1 + 1 luôn chứa thừa số x2 + x + 1

4/ Phương pháp đổi biến: Ví dụ: Phân tích:

x[x + 4][x + 6][x + 10] + 128 = [x2 + 10x][x2 + 10x + 24] + 128

Đặt y = x2 +10x + 12 thì biểu thức đã cho trở thành :

[y – 12][y + 12] + 128 = y2 – 122 + 128 = y2 – 16 = [y – 4][y + 4]

= [x2 +10x + 12 – 4][ x2 +10x + 12 + 4] = [x2 +10x + 8][ x2 +10x + 16]

= [x + 2][x + 8] [x2 +10x + 8] 5/ Phương pháp hệ số bất định:

Sử dụng khi không tìm được nghiệm ngun hoặc nghiệm hữu tỉ Ví dụ: x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 [1]

Đồng nhất thức với [1] ta được hệ điều kiện: =−=+=++−=+314126bdbdaddbacca

Xét bd = 3 với b,d  Z từ đó ta chọn b = 3 => d = 1; hệ điều kiện trở thành:

−=+=−=+14386caacca

=> 2c = -14 –[-6] = -8; Do đó c = -4; a = -2. Vậy đa thức đã cho là: [x2 – 2x + 3][x2 – 4x + 1]

II/ BÀI TẬP:

Phân tích thành nhân tử: 1/

a/ a3 + 4a2 – 7a – 10

b/ x3 – 6x2 + 11x – 6 c/ x3 + x2 – x + 2

d/ x3 + 5x2 + 8x + 4

e/ x3 – 9x2 + 6x + 16

f/ x4 – 4x2 – 5 2/

a/ 6x2 – 11x + 3

b/ 2x2 – 5xy – 3y2

c/ 2x2 + 3x – 27

d/ 2x2 – 5xy + 3y2 e/ x3 + 2x – 3

f/ x3 – 7x + 6

g/ x2 + 8x – 20

h/ x3 – x2 – 4 3/

b/ x2 + 13x + 36

c/ x2 – 8x + 15

d/ t2 – 9x + 20

e/ x2 + 9x + 8 f/ y2 + 11y + 28 g/ b2 + 5b + 4

h/ 2t + 99 – t2

i/ m2 – 2m – 15 4/

a/ 3x2 – 10x – 8

b/ 2x2 – 7x – 4

c/ 3x2 – x – 4 d/ 5x2 + x – 18 e/ 3x2 – 4x – 15 f/ 6x2 + 23x + 7

5/

a/ [x2 – 1 + x][x2 – 1 + 3x] + x2 b/ [x – 2][x – 3][x – 4][x – 5] + 1 c/ [x2 – 4x]2 + [x – 2]2 – 10

d/ [2x2 + 3x – 1] – 5[2x2 + 3x + 3] + 24

e/ [x2 + x] – 2[x2 + x] – 15 f/ [x2 + x + 1] [x2 + x + 2] – 12 g/ x2 + 2xy + y2 – x – y – 12

h/ [x + 2] [x + 3] [x + 4] [x + 5] – 24 6/

a/ a3 + 9a2 + 11a – 21 b/ x3 – 6x2 – x + 30 c/ 9x3 – 15x2 – 32x -12

e/ 2x4 - x3 – 9x2 + 13x - 5

7/

a/ 4x4 – 5x2 + 1

b/ a4 + 4 c/ a4 + a2 + 1 d/ a8 + a4 + 1

e/ x5 + x4 + 1

f/ x4 + 2x3 + 1 g/ x7 + x5 + 1 h/ 2x4 – x2 -1

8/

a/ ab[a + b] – bc[b + c] + ca[c + a] + abc b/ a[b2 + c2] + b[c2 + a2] + c[a2 + b2] + 2abc c/ [a – x]y3 – [a – y]x3 + [x – y]a3

d/ x[x2 –z2] + y[z2 – x2] + z[x2 – y2]

e/ [x + y + z]3 – x3 – v3 – z3

f/ xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

9/ CMR: A = [n + 1]4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với n nguyên

dương.

10/ CMR tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương. 11/ Tìm các số nguyên a, b, c sao cho: [x + a][x – 4] – 7 = [x + b][x + c]

12/ Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho x3 + ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử được [x +

a][x + b][x + c]

13/ Cho đa thức P[x] = 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13 x + 6

a/ Phân tích P[x] thành nhân tử

b/ CMR: P[x] chia hết cho 6 với mọi x  Z 14/ Cho đa thức P[x] = x4 – 3x3 + 5x2 - 9x + 6

b/ Tìm giá trị của x để P[x] = 0 15/ Cho a + b + c = 1 và a2 + b2 + c2 = 1

a/ Nếu

czb

yax = =

; CMR xy + yz + zc = 0 b/ Nếu a3 + b3 + c3 = 1 Tìm giá trị của a, b, c. Gợi ý: a/ áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau và HĐT

b/ Ap dụng kết quả câu 8e

16/ Cho 3 số phân biệt a,b, c. CMR: A = a4[b – c] + b4[c –a] + c4[a –b] ln khác 0 Gợi ý: Phân tích A = ½[a – b][a – c][b – c][[a + b]2 + [a + c]2 + [b + c]2] nên khác 0

17/ Phân tích thành nhân tử: A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4

CMR nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0

Gợi ý: A = [ a + b + c][a + b – c][ c + a – b][c – a + b] chứng minh A>0

Video liên quan