Bài toán về hai tiếp tuyến và một cát tuyến
Tài liệu gồm 11 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề tiếp tuyến, cát tuyến, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán; các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc. Show
NHỮNG TÍNH CHẤT CẦN NHỚ 1. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB CD KCD của một đường tròn cắt nhau tại M thì MA.MB = MC.MD. 2. Đảo lại nếu hai đường thẳng AB CD cắt nhau tại M và MA.MB = MC.MD thì bốn điểm A B C D thuộc một đường tròn. 3. Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì MC MA MB MO R 2 2 2. 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA KB cát tuyến KCD H là trung điểm CD thì năm điểm K A H O B nằm trên một đường tròn. 5. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA KB cát tuyến KCD thì AC BC AD BD. Ta có: AC KC KAC ADK KAC KAD AD KA. Tương tự ta cũng có: BC KC BD KB mà KA KB nên suy ra AC BC AD BD. Chú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có: AC BC AD BD và CA DA CB DB. NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Chuyên đề 10: Bài toán về tiếp tuyến, cát tuyếnNhững tính chất cần nhớ:1). Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB,CD,KCD của một đường tròncắt nhau tại M thì MA MC2). Đảo lại nếu hai đường thẳng AB,CD cắt nhau tại M vàMA MC thì bốn điểm A, B,C, D thuộc một đường tròn.3). Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thìMC 2 MA MO 2 R 24). Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cáttuyến KCD,H , là trung điểm CD thì năm điểm K,A,H,O, B nằm trênmột đường tròn.ODCBAMODCBAMBACM5). Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA,KB cáttuyến KCD thì AC BCAD BDTa có: AC KCKAC ADK KAC KADAD KAnull Tương tự ta cũng có: BC KCBD KBmà KA KB nên suy ra AC BCAD BDChú ý: Những tứ giác quen thuộc ACBD như trên thì ta luôn có:AC BCAD BDvà CA DACB DBK OHDCBAABCDK OBài 2: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA,KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB.Chứng minha) CMOD là tứ giác nội tiếpb) Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMDGiải:a) Vì KB là tiếp tuyến nên ta có: KB 2 KC KO 2 R 2Mặt khác tam giác KOB vuông tại B và BM KO nên KB 2 KMsuy raKC KM hay CMOD là tứ giác nội tiếpb) CMOD là tứ giác nội tiếp nên KMC ODC,OMD OCD.Mặt khác ta có: ODC OCD KMC OMDTrường hợp 1:Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A và bờ là KO (h1)Hai góc AMC, AMD có 2 góc phụ với nó tương ứng là KMC,ODC màKMC ODC nên AMC AMD hay MA là tia phân giác của góc CMDTrường hợp 2:OBADCMK O KDCBAMTia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B và bờ là KO (h2) thì tương tự tacũng có MB là tia phân giác của góc CMDSuy ra Đường thẳng AB chứa phân giác của góc CMD.Bài 3. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA,KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi H là trung điểm CD. Vẽ dâyAF đi qua H. Chứng minh BF / /CDGiải:Để chứng minh BF / /CD ta chứng minh AHK AFBTa có 1AFB AOB2( Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB ).Mặt khác KO là phân giác góc AOB nênAOK BOK 1 AOB AFB AOK2. Vì A,K, B,O,H cùng nằm trên đườngtròn đường kính KO nên AHK AOK AFB AHK BF / /CDBài 4. Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA,KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi H là trung điểm CD. ĐườngFABCDHK O1Ta cần chứng minh: AIK KBCMặt khác ta có: đ1KBC CAB s CB2nên ta sẽ chứng minh AIK CABhay BID ∼BCA Thật vậy theo tính chất 5 ta có: CB DBCA DAmà CB DBDA DICA DITứ giác ACBD nội tiếp nên BCA BDI BID ∼ BCA AIK CABHay AIK KBC BC / /AIBài 6 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA,KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB. Vẽdây CF qua M. Chứng minh DF / /ABGiải:F121 MABCDHKOKẻ OH CDTa chứng minh được: CMOD là tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nênM 1 D 1 mà 0 0 M 1 M 2 90 ; D 1 DOH 90 M 2 DOH. Mặt khác ta có:CFD 1 COD, DOH 1 COD CFD DOH2 2. Từ đó suy ra M 2 CFD DF / /ABChú ý: DF / /AB ABFD là hình thang cân có hai đáy làAB, DF OMD OMFBài 7: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA,KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là giao điểm OK và AB. KẻOH vuông góc với CD cắt AB ở E. Chứng minha) CMOE là tứ giác nội tiếpb) CE, DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)Giải:a) Theo bài toán 2, ta có CMODlà tứ giác nội tiếp nên CMK ODC OCD.Do đó các góc phụ với chúngbằng nhau: CME COE.Suy ra CMOE là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc).EMABCDHK O Sử dụng bài 2, ta có CMOD là tứ giác nội tiếp vàAMD 1 CMD 1 COD2 2(2). Từ (1) và (2) suy ra 1AND COD2. Ta lạicó 1CID COD2nên 1AND CID2.HS tự giải tiếp.Bài 9 Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O) kẻ các tiếp tuyếnKA,KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi M là trung điểm của AB. Chứngminh rằng ADC MDB.Giải:Kẻ OH CD , cắt AB ở E.Theo bài 7 , EC là tiếp tuyến của đường tròn O , nên theo bài toánquen thuộc 3, ta có ECMD là tứ giác nội tiếp, suy ra EBD ECD (2).Từ (1) và (2) suy ra CBD EMD.Do đó hai góc bù với nhau chúng bằng nhau:CAD BMD CAD ∼BMD (g) nên ADC MDBK OHDCBAME |