- LG a
- LG b
Cho hypebol \[[H]: { \dfrac{x}{4}^2} - \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1\] và đường thẳng \[\Delta : x - y + 4 = 0\].
LG a
Chứng minh rằng \[\Delta \] luôn cắt \[[H]\] tại hai điểm \[M, N\] thuộc hai nhánh khác nhau của \[[H] [x_M< x_N];\]
Lời giải chi tiết:
\[[H]: \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{5}\]
\[= 1 \Leftrightarrow 5{x^2} - 4{y^2} - 20 = 0\].
\[{a^2} = 4 \Rightarrow a = 2 , \] \[ {b^2} = 5 \Rightarrow b = \sqrt {5 } ,\] \[ {c^2} = {b^2} + {a^2} = 9 \Rightarrow c = 3\].
\[[H]\] có hai nhánh : nhánh trái ứng với \[x \le - 2\], nhánh phải ứng với \[x \ge 2\]. Hoành độ giao điểm của \[[H]\] và \[\Delta \] là nghiệm của phương trình :
\[5{x^2} - 4{[x + m]^2} - 20 = 0\] hay \[{x^2} - 8mx - 4[{m^2} + 5] = 0\]. [1]
Phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi \[m\]. Do đó \[\Delta \] luôn cắt \[[H]\] tại hai điểm \[M\] và \[N\] thuộc hai nhánh khác nhau.
Theo giả thiết \[x_M< x_N\]nên \[M\] thuộc nhánh trái, \[N\] thuộc nhánh phải.
LG b
Gọi \[F_1\]là tiêu điểm trái và \[F_2\]là tiêu điểm phải cả \[[H]\]. Xác định \[m\] để \[F_2N=2F_1M.\]
Lời giải chi tiết:
\[[H]\] có các tiêu điểm \[{F_1}[ - 3 ; 0] , {F_2}[3 ; 0]\].
\[\begin{array}{l}{F_2}N = \left| {a - \dfrac{c}{a}{x_N}} \right| = \left| {2 - \dfrac{3}{2}{x_N}} \right| \\= \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 [{x_N} \ge 2]\\{F_1}M = \left| {a + \dfrac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {2 + \dfrac{3}{2}{x_M}} \right|\\ = - \dfrac{3}{2}{x_M} - 2 [{x_M} \le - 2]\\{F_2}N = 2{F_1}M \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 = 2\left[ { - \dfrac{3}{2}{x_M} - 2} \right] \\ \Leftrightarrow 3{x_N} + 6{x_M} + 4 = 0 [2]\end{array}\]
\[{x_M}, {x_N}\] là nghiệm của [1] nên \[\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 8m \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[3] \\{x_M}.{x_N} = - 4[{m^2} + 5]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[4]\end{array} \right.\]
Giải [2] và [3] ta được: \[{x_M} = - \dfrac{4}{3} - 8m ,\] \[ {x_N} = \dfrac{4}{3} + 16m\]. Thay \[{x_M}, {x_N}\] vào [4] ta có
\[\begin{array}{l}\left[ { - \dfrac{4}{3} - 8m} \right]\left[ { \dfrac{4}{3} + 16m} \right]\\ = - 4[{m^2} + 5] \\ \Leftrightarrow 279{m^2} + 72m - 41 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}} .\end{array}\]
Vậy với \[m = \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}}\] thì \[{F_2}N = 2{F_1}M\].