Đề bài
Trong tam giác \[ABC\] kẻ các đường cao \[AA, BB, CC\] và gọi \[H\] là trực tâm của tam giác.
a] Chứng minh
\[\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {A'C} = - \overrightarrow {A'H} .\overrightarrow {A'A}. \]
b] Gọi \[J\] là một giao điểm của \[AA\] với đường tròn \[[C]\] đường kính \[BC\]. Chứng minh rằng các đường thẳng \[BC, BC\] và tiếp tuyến tại \[J\] của \[[C]\] đồng quy.
Lời giải chi tiết
[h.78].
a] Lấy điểm \[H_1\]đối xứng với \[H\] qua \[A\] hay \[\overrightarrow {A'H} = - \overrightarrow {A'{H_1}} \].
Khi đó, \[\widehat {B{H_1}C} = \widehat {BHC} = \widehat {B'HC'} = {180^0} - \widehat A\].
Suy ra \[ABH_1C\] là tứ giác nội tiếp, do đó
\[\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {A'{H_1}.} \overrightarrow {A'A} = - \overrightarrow {A'H} .\overrightarrow {A'A} \].
b] Đường tròn \[[C]\] và đường tròn tâm \[I\] đường kính \[HA\] có \[BC\] là trục đẳng phương. Kẻ tiếp tuyến của \[[C]\] tại \[J\] cắt đường thẳng \[BC\] ở \[K\] thì \[K{J^2} = \overrightarrow {KB} .\overrightarrow {KC} = {\wp _{K/[C]}}\].
Ta hãy tính phương tích của \[K\] đối với đường tròn tâm \[I\]:
\[\begin{array}{l}{\wp _{K/[I]}} = K{I^2} - {\left[ {\dfrac{{AH}}{2}} \right]^2}\\ = KA{'^2} + {\overrightarrow {A'I} ^2} - {\left[ {\dfrac{{\overrightarrow {AH} }}{2}} \right]^2}\\ = KA{'^2} + {\left[ {\dfrac{{\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'H} }}{2}} \right]^2} - {\left[ {\dfrac{{\overrightarrow {A'H} - \overrightarrow {A'A} }}{2}} \right]^2}\\ = KA{'^2} + \overrightarrow {A'H} .\overrightarrow {A'A} \end{array}\]
Theo câu a], \[\overrightarrow {A'H} .\overrightarrow {A'A} = - \overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {A'C} \].
Mặt khác , ta có \[\widehat {BJC} = {90^0}\] [ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] và \[JA' \bot BC\] nên \[A'{J^2} = - \overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {A'C} \].
Vậy \[{\wp _{K/[I]}} = KA{'^2} + A'{J^2} = K{J^2} = {\wp _{K/[C]}}\], suy ra \[K\] thuộc trục đẳng phương \[BC\]. Vậy ba đường thẳng \[BC, BC\] và tiếp tuyến tại \[J\] của \[[C]\] đồng quy ở \[K\].