Đề bài
Cho điểm \[O\] nằm trong hình bình hành \[ABCD\]. Các đường thẳng đi qua \[O\] và song song với các cạnh của hình bình hành lần lượt cắt \[AB, BC, CD, DA\] tại \[M, N, P, Q\]. Gọi \[E\] là giao điểm của \[BQ\] và \[DM, F\] là giao điểm của \[BP\] và \[DN\]. Tìm điều kiện để \[E, F, O\] thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kết quả bài tập 19 trang 8 SBT hình học 10 nâng cao:
Cho tam giác \[ABC\]. Các điểm \[M, N, P\] lần lượt chia các đoạn thẳng \[AB, BC, CA\] theo các tỉ số lần lượt là \[m, n, p\] [đều khác 1].
Khi đó,\[M, N, P\] thẳng hàng khi và chỉ khi \[mnp=1\] [Định lí Mê-nê-la-uýt]
Lời giải chi tiết
Xét tam giác \[ABQ\] và ba điểm thẳng hàng \[M, E, D\].
Giả sử \[M\] chia \[AB\] theo tỉ số \[m, E\] chia \[BQ\] theo tỉ số \[n, D\] chia \[QA\] theo tỉ số \[p\]
Theo định lí Mê-nê-la-uýt ta có \[mnp=1\].
Xét tam giác \[QNB\] và ba điểm \[O, E, C\].
Khi đó \[O\] chia \[QN\] theo tỉ số \[m,\] \[ C\] chia \[NB\] theo tỉ số \[n\] và \[E\] chia \[BQ\] theo tỉ số \[p\].
Vì \[mnp=1\] nên ba điểm \[O, E, C\] thẳng hàng.
Cũng chứng minh tương tự, ta có ba điểm \[F, O, A\] thẳng hàng.
Vậy để ba điểm \[O, E, F\] thẳng hàng, điều kiện cần và đủ là năm điểm \[A, C, E, F, O\] thẳng hàng, hay điểm \[O\] phải nằm trên đường chéo \[AC\] của hình bình hành đã cho.