Đề bài
Chứng minh rằng hai vec tơ \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] cùng phương khi và chỉ khi có cặp số \[m, n\] không đồng thời bằng 0 sao cho \[m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \].
Hãy phát biểu điều kiện cần và đủ để hai vec tơ không cùng phương.
Lời giải chi tiết
Nếu \[\overrightarrow a = - \dfrac{n}{m}\overrightarrow b \], suy ra \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b\] cùng phương.
Ngược lại, giả sử \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] cùng phương.
Nếu \[\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \] thì có thể viết \[m\overrightarrow a + 0\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \] với \[m \ne 0\].
Nếu \[\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \] thì có số m sao cho \[\overrightarrow b = m\overrightarrow a \] tức \[m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \], trong đó \[n = - 1 \ne 0\].
Vậy điều kiện cần và đủ để \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] cùng phương là cặp số m,n không đồng thời bằng 0 sao cho \[m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \].
Từ đó suy ra: điều kiện cần và đủ để \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \] không cùng phương là nếu \[m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \] thì \[m = n = 0\].