Đề bài
Cho đường tròn đường kính \[AB\] và đường thẳng \[\Delta \] vuông góc với \[AB\] ở \[H\][\[H\] không trùng với \[A\] và \[B\]]. Một đường thẳng quay quanh \[H\] cắt đường tròn ở \[M, N\] và các đường thẳng \[AM, AN\] lần lượt cắt \[\Delta \] ở \[M, N.\]
a] Chứng minh rằng bốn điểm \[M, N, M, N\] cùng thuộc một đường tròn \[[C]\] nào đó.
b] Chứng minh rằng các đường tròn \[[C]\] luôn đi qua hai điểm cố định.
Lời giải chi tiết
[h.42].
a] Tứ giác \[HBMM\] nội tiếp được do \[\widehat {M'HB} = \widehat {M'MB} = {90^0}\], suy ra \[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AM'} .\]
Tứ giác \[HBNN\] cũng nội tiếp được do \[\widehat {N'HB} = \widehat {N'NB} = {90^0}\], suy ra \[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AN'} .\]
Từ đó ta có \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AM'} = \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AN'} \]
Suy ra \[M, N, M, N\] cùng thuộc một đường tròn, ta kí hiệu đường tròn đó là \[[C].\]
b] Gọi \[P, Q\] là các giao điểm của \[[C]\] với đường thẳng \[AB\] và \[E, F\] là các giao điểm của \[\Delta \] với đường tròn đường kính \[AB.\]
Khi đó
\[\overrightarrow {HE} .\overrightarrow {HF} = \overrightarrow {HM} .\overrightarrow {HN} = \overrightarrow {HP} .\overrightarrow {HQ} \] nên \[E, P, F, Q\] cùng thuộc đường tròn \[[S]\]. Đường tròn này tiếp xúc với \[AE, AF\] lần lượt tại \[E, F\] và do \[AE, AF\] đối xứng qua \[AB\] nên \[[S]\] cố định, suy ra \[P, Q\] là hai điểm cố định.
Vậy \[P, Q\] thuộc đường tròn \[[S]\] tiếp xúc với \[AE, AF\] ở \[E, F.\]
Do \[[S]\] là đường tròn cố định nên \[P, Q\] là hai điểm cố định của \[[C].\]