- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
LG a
\[\,y = {{2x - 1} \over {{x^2}}} + x - 3\,;\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\]
* Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \]nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left[ {x - 3} \right]} \right] \] \[= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x - 1} \over {{x^2}}} \] \[= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {{2 \over x} - {1 \over {{x^2}}}} \right] = 0\] nên y = x 3 là tiệm cận xiên.
LG b
\[\,\,{{{x^3} + 2} \over {{x^2} - 2x}}\]
Phương pháp giải:
Đường thẳng y=ax+b [\[a\ne 0\]] là TCX của đồ thị hàm số y=f[x] khi và chỉ khi
\[a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left[ x \right]}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left[ x \right] - ax} \right]\]
hoặc\[a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left[ x \right]}}{x},b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left[ x \right] - ax} \right]\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ {0;2} \right\}\]
* \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left[ {x - 2} \right]}} = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left[ {x - 2} \right]}} = + \infty \]nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left[ {x - 2} \right]}} = + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^3} + 2} \over {x\left[ {x - 2} \right]}} = - \infty \] nên \[x = 2\] là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \[y = ax +b\]
\[\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + 2} \over {{x^3} - 2{x^2}}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {2 \over {{x^3}}}} \over {1 - {2 \over x}}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - x} \right]\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {{{{x^3} + 2} \over {{x^2} - 2x}} - x} \right] \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2{x^2} + 2} \over {{x^2} - 2x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 + \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{2}{x}}}= 2 \cr} \]
Đường thẳng \[y = x + 2\] là tiệm cận xiên của đồ thị.
LG c
\[\,\,{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} - 1\,}}\,\,;\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\]
* \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} = + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} = - \infty \] nên \[x = -1\] là tiệm cận đứng .
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \]nên \[x = 1\] là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \[y = ax + b\]
\[\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + x + 1} \over {x\left[ {{x^2} - 1} \right]}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - x} \right] \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}-x} \right] \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} - 1}} = 0 \cr} \]
\[ \Rightarrow y = x\] là tiệm cận xiên.
LG d
\[\,\,{{{x^2} + x + 1} \over { - 5{x^2} - 2x + 3}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;{3 \over 5}} \right\}\]
* Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over { - 5 - {2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}} = - {1 \over 5}\]nên \[y = - {1 \over 5}\] là tiệm cận ngang.
* \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {3 - 5x} \right]}} = + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 1} \right]}^ - }} y = - \infty \] nên \[x = -1\] là tiệm cận đứng.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {{3 \over 5}} \right]}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {{3 \over 5}} \right]}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {3 - 5x} \right]}} = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {{3 \over 5}} \right]}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ {{3 \over 5}} \right]}^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {3 - 5x} \right]}} = + \infty \] nên \[x = {3 \over 5}\] là tiệm cận đứng.