- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
LG a
\[f\left[ x \right] = \sqrt {3 - 2x} \] trên đoạn \[\left[ { - 3;1} \right]\];
Lời giải chi tiết:
\[f'\left[ x \right] = {{ - 1} \over {\sqrt {3 - 2x\,} }} < 0\] với mọi \[x < {3 \over 2}\,\]
Hàm số \[f\] nghịch biến trên đoạn \[\left[ { - 3;1} \right]\]
Do đó \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} = f\left[ { - 3} \right] = 3\]; \[\mathop {\min f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} = f\left[ 1 \right] = 1\]
Cách khác:
\[f'\left[ x \right] = {{ - 1} \over {\sqrt {3 - 2x\,} }} = 0\] vô nghiệm trên đoạn [-3;1]
Mà \[f\left[ { - 3} \right] = 3\]; \[f\left[ 1 \right] = 1\].
Do đó \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} = f\left[ { - 3} \right] = 3\]; \[\mathop {\min f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} = f\left[ 1 \right] = 1\]
LG b
\[f\left[ x \right] = x + \sqrt {4 - {x^2}} \]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \left[ { - 2;2} \right]\]
\[f'\left[ x \right] = 1 - {x \over {\sqrt {4 - {x^2}}}}\] với \[x \in \left[ { - 2;2} \right]\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow 1 - {x \over {\sqrt{4 - {x^2}}} } = 0 \] \[\Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < x < 2 \hfill \cr
4 - {x^2} = {x^2} \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow x = \sqrt 2 \]
Ta có \[f\left[ { - 2} \right] = - 2;f\left[ {\sqrt 2 } \right] = 2\sqrt 2 ;\] \[f\left[ 2 \right] = 2\]
Vậy \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} = 2\sqrt 2 ;\] \[\mathop {\min f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} = - 2\]
Cách khác:
BBT:
Vậy \[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} = 2\sqrt 2 ;\] \[\mathop {\min f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - 2;2} \right]} = - 2\]
LG c
\[f\left[ x \right] = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2;\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\]
Ta có: \[f\left[ x \right] = {\sin ^4}x + 1 - {\sin ^2}x + 2 \] \[= {\sin ^4}x - {\sin ^2}x + 3\]
Đặt \[t = {\sin ^2}x;0 \le t \le 1\]
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \[g\left[ t \right] = {t^2} - t + 3\] trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\]
\[g'\left[ t \right] = 2t - 1\]
\[g'\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\]
Ta có: \[g\left[ 0 \right] = 3;g\left[ {{1 \over 2}} \right] = {{11} \over {14}};g\left[ 1 \right] = 3\]
Do đó: \[\mathop {\min g\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} = {{11} \over {14}};\mathop {\max g\left[ t \right]}\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} = 3\]
Vậy: \[\mathop {\min f\left[ x \right]}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{11} \over {14}}\] đạt được khi \[{\sin ^2}x = \frac{1}{2} \] \[\Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2} \] \[\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1\] \[ \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \] \[\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi\] \[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\]
\[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3\] đạt được khi \[ x = \frac{k\pi }{2} \]
LG d
\[f\left[ x \right] = x - \sin 2x\]trên đoan \[\left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]\].
Lời giải chi tiết:
\[f'\left[ x \right] = 1 - 2\cos 2x;\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3}\] \[ \Leftrightarrow 2x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \] \[ \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\]
Với \[- {\pi \over 2} < x < \pi ,f'\left[ x \right] = 0\] tại các điểm \[- {\pi \over 6},{\pi \over 6}\] và \[{{5\pi } \over 6}\]
Ta có \[f\left[ { - {\pi \over 6}} \right] = - {\pi \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2};\] \[f\left[ {{\pi \over 6}} \right] = {\pi \over 6} - {{\sqrt 3 } \over 2};\] \[f\left[ {{{5\pi } \over 6}} \right] = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\]; \[f\left[ { - {\pi \over 2}} \right] = - {\pi \over 2};f\left[ \pi \right] = \pi \]
So sánh năm giá trị trên ta được:
\[\mathop {\max f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]} = {{5\pi } \over 6} + {{\sqrt 3 } \over 2}\] và \[\mathop {\min f\left[ x \right]}\limits_{x \in \left[ { - {\pi \over 2};\pi } \right]} = - {\pi \over 2}\]