- LG a
- LG b
LG a
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm [2; 1]
Lời giải chi tiết:
Vì M[2; 1] nằm trong góc phần tư thứ nhất và đường tròn cần tìm [C] tiếp xúc với hai trục tọa độ nên [C] cũng ở trong góc phần tư thứ nhất.
[C] tiếp xúc với Ox và Oy nên [C] có tâm I [a; a] và bán kính R= a [ a > 0 ].
Do đó [C] có phương trình là: \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - a} \right]^2} = {a^2}\]
Vì \[M[2;1]\in[C]\] nên
\[\eqalign{
& {\left[ {2 - a} \right]^2} + {\left[ {1 - a} \right]^2} = {a^2} \cr &\Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + {a^2} - 2a + 1 = {a^2}\cr &\Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0\,\,[C] \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
+] Với \[a =1\] ta có [C]: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = 1.\]
+] Với \[a=5\] ta có \[[C]:{\left[ {x - 5} \right]^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} = 25.\]
LG b
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm [1, 1]; [1, 4] và tiếp xúc với trục Ox.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng Ox: \[y = 0\].
Giả sử: \[I [a; b]\] là tâm của đường tròn cần tìm.
Ta có: \[R = d\left[ {I;{\rm{Ox}}} \right] = |b|\]
Phương trình đường tròn có dạng
\[[C]:{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} = {b^2}\]
Vì \[\left[ {1;1} \right] \in [C]\]và \[\left[ {1;4} \right] \in [C]\] nên ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
{\left[ {1 - a} \right]^2} + {\left[ {1 - b} \right]^2} = {b^2}\,\,\,[\,1\,] \hfill \cr
{\left[ {1 - a} \right]^2} + {\left[ {4 - b} \right]^2} = {b^2}\,\,\,[2] \hfill \cr} \right.\]
Lấy \[\left[ 1 \right] - \left[ 2 \right]\] vế với vế ta được:
\[{\left[ {1 - b} \right]^2} - {\left[ {4 - b} \right]^2}=0\]
\[\Leftrightarrow 1 - 2b + {b^2} - 16 + 8b - {b^2} = 0 \]
\[\Leftrightarrow - 15 + 6b = 0\] \[\Leftrightarrow b = {5 \over 2}.\]
Thay \[b = {5 \over 2}\]vào [1] ta được:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {1 - a} \right]^2} + {\left[ {1 - \frac{5}{2}} \right]^2} = {\left[ {\frac{5}{2}} \right]^2}\\
\Leftrightarrow {\left[ {1 - a} \right]^2} = 4\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - a = 2\\
1 - a = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
a = 3
\end{array} \right.
\end{array}\]
Với \[a = 3,b = \frac{5}{2}\] ta có pt đường tròn là \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - {5 \over 2}} \right]^2} = {{25} \over 4};\]
Với \[a = -1,b = \frac{5}{2}\] ta có pt đường tròn là \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - {5 \over 2}} \right]^2} = {{25} \over 4}.\]