Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :. Bài 77 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 3. Phương trình đường thẳng
Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :
\[\eqalign{ & a]\;\;d:{{x – 2} \over 2} = {{y – 3} \over 3} = {{z + 4} \over { – 5}},\cr&\;\;\;\;\;d’:{{x + 1} \over 3} = {{y – 4} \over { – 2}} = {{z – 4} \over { – 1}}; \cr & b]\;\;d:\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 1 – t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr} \right.d’:\left\{ \matrix{ x = 2 – 2t’. \hfill \cr y = 3 \hfill \cr z = t’. \hfill \cr} \right. \cr} \]
a] Cách 1: Ta có \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {2;3; – 5} \right],\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left[ {3; – 2; – 1} \right].\]
Khi đó vì \[\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] = \left[ { – 13; – 13; – 13} \right]\] nên đường vuông góc chung \[\Delta \] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left[ {1;1;1} \right].\]
Gọi \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng chứa d và \[\Delta \] thì \[\left[ \alpha \right]\] đi qua \[{M_o}[2;3; – 4]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow u } \right] = \left[ {8, – 7, – 1} \right].\]
Có phương trình của mp\[\left[ \alpha \right]\] là: \[8\left[ {x – 2} \right] – 7\left[ {y – 3} \right] – 1\left[ {z + 4} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow 8x – 7y – z + 1 = 0.\]
Gọi \[\left[ \beta \right]\] là mặt phẳng chứa \[d’\] và \[\Delta \] thì \[\left[ \beta \right]\] đi qua điểm \[M_o’\left[ { – 1;4;4} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] = \left[ {1;4; – 5} \right].\]
Phương trình của mp\[\left[ \beta \right]\] là :\[1\left[ {x + 1} \right] + 4\left[ {y – 4} \right] – 5\left[ {z – 4} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow x + 4y – 5z + 5 = 0.\]
Vậy đường vuông góc chung \[\Delta \] của \[d\] và \[d’\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] và \[\left[ \beta \right]\] . Nó có phương trình tham số là:
Quảng cáo\[\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\]
Cách 2: Điểm \[M \in d\] có toa độ là \[M = \left[ {2 + 2t;3 + 3t; – 4 – 5t} \right].\]
Điểm \[N \in d’\] có toa độ là \[N = \left[ { – 1 + 3t’;4 – 2t’;4 – t’} \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left[ { – 3 + 3t’ – 2t;1 – 2t’ – 3t;8 – t’ + 5t} \right].\]
MN là đường vuông góc chung của \[d\] và \[d’\] khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d’}}} = 0 \hfill \cr} \right.\]
Suy ra \[M = \left[ {0;0;1} \right],N = \left[ {2;2;3} \right] \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left[ {2;2;2} \right].\]
Vậy phương trình chính tắc của đường vuông góc chung \[\Delta \] là
\[{x \over 1} = {y \over 1} = {{z – 1} \over 1}.\]
b] \[{{x – 2} \over 1} = {{y – 3} \over 5} = {z \over 2}.\]
Academia.edu no longer supports Internet Explorer.
To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser.
Với Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
Cách 1:
- Viết PT mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với d2 - Viết PT mặt phẳng [Q] chứa d1 và vuông góc với [P] - Tìm giao điểm M = d1 ∩ [Q], pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với [P]Cách 2:
Gọi M = d ∩ d1; N = d ∩ d2 Vì d là đường vuông góc chung nênVí dụ: 1
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
- Mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với d2 có
Chọn 1 vectơ pháp tuyến của [P] là [6; 5; -4]
- Mặt phẳng [Q] chứa d1 và vuông góc với [P] có
=>
1 điểm thuộc d1 cũng thuộc [Q] là: [2; -1; 0]
Phương trình mặt phẳng [Q] là:
– 2.[x – 2] + 24.[y + 1] + 27.[z – 0] = 0 hay – 2x + 24y + 27z + 28 = 0
- Giao điểm M = d2 ∩ [Q] có tọa độ là [t; 2t + 1; 4t – 1] thỏa mãn:
– 2.t + 24[2t + 1] + 27[4t – 1] + 28 = 0 ⇔ t = -25/154
=>
Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với [P] nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của [P] : [6; 5; -4]
Chọn B.
Ví dụ: 2
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho
M = d ∩ d1 => M [t; 5-2t; 14-3t]
N = d ∩ d2 => N [9-4t’; 3+t’; -1+5t’]
=>
Ta có :
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là [1; -1; 1]
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Ví dụ: 3
Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi A = d ∩ d1; B = d ∩ d2
+ Do A thuộc d1 nên A[ 2+a; 1- a; 2-a]
+ Do B thuộc d2 nên B[ b; 3; - 2+ b]
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương
+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương
+ Ta có:
=> A[ 2; 1; 2] và B[ 3; 3; 1]
+ Đường thẳng d đi qua điểm A [ 2; 1; 2] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của d là :
Chọn C.
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A[ -1;1;0]; B[ 1;3;3]; C[ 1; 2; 1] và D[ 1; 1; 1] . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?
A. [ -3; 0; -1]
B. [ 1; 0; 1]
C. [ -1; 0; 2]
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AC : Đi qua A[ -1 ; 1 ; 0] và nhận vecto
+ Đường thẳng BD : đi qua B[ 1 ; 3 ; 3] và nhận vecto
+ M thuộc AC nên M[ -1+ 2m;1+ m;m]
+ N thuộc BD nên N[ 1; 3- 2n; 3- 2n]
+ Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :
=> đường thẳng d cắt AC tại M[ - 3; 0;-1]
Chọn A.
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho ba điểm A[1; 2; 3]; B[0;1 4] và C[ - 1; -2; 1] . Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Tính độ dài đường vuông góc chung?
A. 2
B. 4
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB: Đi qua A[ 1;2; 3] và nhận vecto
+ Đường thẳng OC: đi qua O[ 0; 0 ; 0] và nhận vecto
+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N
+ Điểm M thuộc AB nên M[ 1- m; 2- m; 3+ m]
+ Điểm N thuộc OC nên N[n; 2n; - n]
=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.
Chọn C.
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho các điểm A[ 1; 1; 1] và B[ -2; 1; 0]. Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Ox. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?
A. [ 0; 1; 1]
B. [ -2; 0; 1]
C. [ 0;0; 1]
D. [ 0; 1; 0]
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương
+ Trục Ox có vecto chỉ phương là
+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Ox nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
+ Lại có vecto
Chọn D.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. [ 0;1; - 1]
B. [ 2; -1; 2]
C. [ -2; 1; 0]
D. [ 0; 2; 2]
Hướng dẫn giải
+ Trục Oz: đi qua gốc tọa độ O[0; 0; 0] và nhận vecto
=> Phương trình Oz:
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
+ Điểm A thuộc d nên A[ 1+ a; 2; a] .
+ Điểm B thuộc Oz nên B[ 0; 0; b]
+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto
+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oz nên :
=> Tọa độ hai điểm A[0; 2; - 1] và B[ 0; 0; -1]
=>Tọa độ trung điểm của AB là M[ 0; 1; - 1]
Chọn A.
Ví dụ: 8
Cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là:
+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A[ 1; a; 1-a] .
+ Điểm B thuộc d2 nên B[ 2+ b; 1- b; 2]
+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2 nên :
=> Phương trình d:
Chọn B.
Câu 1:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Lời giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
+ Hai đường thẳng d1; d2 có vecto chỉ phương lần lượt là :
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng đã cho lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A[ a; - 2a; a]
+ Điểm B thuộc d2 nên B[ - 1+ 2b; 1 + 2b; -1+ b]
+ ta có đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng đã cho nên :
=> Phương trình d:
Chọn C.
Câu 2:
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho
Gọi M = d ∩ d1 => M [ m; - 2; 1- m] và N = d ∩ d2 => N [ 2; -1+n; -1+ n]
+ Hai đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là :
Ta có
Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là [1; -1; 1]
Vậy phương trình của d là:
Chọn B.
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A. – 2
B. 4
C. 0
D. - 3
Lời giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Gọi A = d ∩ d1; B = d ∩ d2
+ Do A thuộc d1 nên A[ 2a; 1+ a; - a]
+ Do B thuộc d2 nên B[ 1- b; - 2; 2- b]
+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương
+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương
+ Ta có:
Chọn D.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A[- 2; 1; 3]; B[ 1;2; 1]; C[0; 0; 2] và D[2; 3; 1] . Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đường thẳng AC : Đi qua A[ -2; 1; 3] và nhận vecto
+ Đường thẳng BD : đi qua B[ 1; 2; 1] và nhận vecto
+ M thuộc AC nên M[ - 2+ 2m; 1-m; 3- m]
+ N thuộc BD nên N[ 1+ n; 2+ n; 1]
+ Ta có đường thẳng d vuông góc với AC và BD nên :
Chọn A.
Câu 5:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho ba điểm A[0; -1; 2]; B[ -1; 0; 1] và C[1;2 ; -1 ] . Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Độ dài đường vuông góc chung gần với số nào nhất?
A. 1
B.2
C. 3
D. 4
Lời giải:
+ Đường thẳng AB: Đi qua A[ 0; -1; 2] và nhận vecto
+ Đường thẳng OC: đi qua O[ 0; 0 ; 0] và nhận vecto
+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N
+ Điểm M thuộc AB nên M[ - m; - 1+ m; 2- m]
+ Điểm N thuộc OC nên N[n; 2n; - n]
=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.
Chọn A.
Câu 6:
Trong không gian với hệ trục Oxyz; cho các điểm A[-1; 0; 1] và B[ 0;1;2]. Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Oy. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d?
A. [ 0; 1; 1]
B. [ -1; 0; 1]
C. [ 0;0; 1]
D. [ 0; 1; 0]
Lời giải:
+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương
+ Trục Oy có vecto chỉ phương là
+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Oy nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:
Chọn B.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. [ -1; 1; 0]
B. [ 2; -1; 2]
C. [ -2; 1; 0]
D. [ 0; 2; 2]
Lời giải:
+ Trục Oy: đi qua gốc tọa độ O[0; 0; 0] và nhận vecto
=> Phương trình Oy:
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
+ Điểm A thuộc d nên A[ -2; 1+ a; - a] .
+ Điểm B thuộc Oy nên B[ 0;b; 0]
+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto
+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oy nên :
=> Tọa độ hai điểm A[ -2; 1; 0] và B[ 0; 1; 0]
=>Tọa độ trung điểm của AB là M[ -1; 1; 0]
Chọn A.
Câu 8:
Cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là:
+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A[ a; - 1- a; 2] .
+ Điểm B thuộc d2 nên B[ 2; 1+ b; 0]
+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2 nên :
=> Phương trình d:
Chọn C.