Tìm m de phương trình có 3 nghiệm x 4

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x4 - 4x2 + 3 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt?

Giải thích :

Dùng phương pháp cô lập m đối với bài toán này.

Ta có x4 - 4x2 + 3 + m = 0 ⇔ m = -x4 + 4x2 - 3

Xét hàm số f[x] = -x4 +4x2 -3;f' [x]=-4x3 +8x;f' [x]=0⇔ 

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì -3 < m < 1.

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Cho phương trình  ax4 + bx2 + c = 0 [a ≠ 0]    [1]

Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: at2 + bt + c = 0 [2]

+ Để phương trình [1] vô nghiệm thì phương trình [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Để phương trình [1] có 1 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

+ Để phương trình [1] có 2 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu

+ Để phương trình [1] có 3 nghiệm thì phương trình [2] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

+ Để phương trình [1] có 4 nghiệm thì phương trình [2] có 2 nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 1: Cho phương trình  x4 – 2[m + 4]x2 + m2 = 0 [1]. Tìm m để phương trình [1]

a. Có nghiệm

b. Có 1 nghiệm

c. Có 2 nghiệm phân biệt

d. Có 3 nghiệm phân biệt

e. Có 4 nghiệm phân biệt

Giải

Đặt t = x2, khi đó phương trình [1] trở thành:  t2 – 2[m + 4]t + m2 = 0 [2]

a. Để phương trình [1] vô nghiệm thì phương trình [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Xét TH1: Phương trình [2] vô nghiệm ⇔ Δ' < 0

+ Xét TH2: Phương trình [2] có nghiệm âm

Vậy với m < -2 thì phương trình [1] vô nghiệm

b. Để phương trình [1] có 1 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình [2] nên thay t = 0 vào [2] ta được:

m2 = 0 ⇔ m = 0

Với m = 0 thì phương trình [2] có dạng:  

Suy ra m = 0 không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình [1] có 1 nghiệm

c. Để phương trình [1] có 2 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu

+ Xét TH1: phương trình [2] có nghiệm kép dương

∆ꞌ = 8m + 16 = 0 ⇔ m = -2

Với m = -2 thì phương trình [2] có nghiệm kép

Suy ra m = -2 thỏa mãn

+ Xét TH2: phương trình [2] có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0

⇔ m2 < 0 [bất phương trình vô nghiệm ]

Vậy với m = -2 thì phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt

d. Để phương trình [1] có 3 nghiệm thì phương trình [2] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

theo kết quả câu [b] ta có với m = 0 thì phương trình [2] có 2 nghiệm: t = 0, t = 8

Suy ra m = 0 thỏa mãn

Vậy với m = 0 thì phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt

e. Để phương trình [1] có 4 nghiệm thì phương trình [2] có 2 nghiệm dương phân biệt       

Vậy với m > -2 và m ≠ 0 thì phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình  [m – 1]x4 + 2[m – 3]x2 + m + 3 = 0 [1] vô nghiệm

Giải

Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành: [m – 1]t2 + 2[m – 3]t + m + 3 = 0 [2]

Nếu m = 1 thì phương trình [2] có dạng: -4t + 4 = 0 ⇔ t = 1

Với t = 1 ⇒ x2=1 ⇔ x=±1

Suy ra m = 1 không thỏa mãn

Nếu m ≠ 1 thì phương trình [2] là phương trình bậc hai

Để phương trình [1] vô nghiệm thì phương trình [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Xét TH1: phương trình [2] vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 

+ Xét TH2: Phương trình [2] có nghiệm âm

Kết hợp điều kiện m ≠ 1 ta có với m < -3 hoặc m > 3/2 thì phương trình [1] vô nghiệm

Câu 1: Số giá trị của m để phương trình  mx4 + 5x2 – 1 = 0 [1] có 2 nghiệm phân biệt là

A. 1

B. 2

C. 3

D. vô số

Giải

Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành:  mt2 + 5t - 1 = 0 [2]

Nếu m = 0 thì phương trình [2] có dạng: 

Suy ra m = 0 thỏa mãn

Nếu m ≠ 0 thì phương trình [2] là phương trình bậc hai

Để phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu

+ Xét TH1: phương trình [2] có nghiệm kép dương

Với

 thì phương trình [2] có nghiệm kép:

Suy ra  thỏa mãn

+ Xét TH2: phương trình [2] có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0

⇔ -m < 0 ⇔ m > 0

Kết hợp điều kiện m ≠ 0 ta có với m = 0,

, m > 0 thì phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án là D

Câu 2: Tìm m để phương trình  x4 – [3m + 4]x2 + 12m = 0 [1] có 4 nghiệm phân biệt là

Giải

Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành:  t2 – [3m + 4]t + 12m = 0 [2]

Để phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] có 2 nghiệm dương phân biệt

Vậy với m > 0 và m ≠ 4/3 thì phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt

Đáp án là B

Câu 3: Số giá trị của m để phương trình  x4 – [m + 2]x2  + m = 0 [1] có 3 nghiệm phân biệt là

A. 1

B. 3

C. 5

D. vô số

Giải

Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành:  t2 – [m + 2]t + m = 0 [2]

Để phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình [2] nên thay t = 0 vào [2] ta được: m = 0

Với m = 0 thì phương trình [2] có dạng:  

Suy ra m = 0 thỏa mãn

Vậy với m = 0 thì phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt

Đáp án là A

Câu 4: Tìm m để phương trình  x4 + [1 – 2m]x2 + m2 - 1 = 0 [1] vô nghiệm

A. không tồn tại m                       

B. m < -1 hoặc m > 5/4

C. m > -1 hoặc m < -3

D. m > 2 hoặc m < -1

Giải

Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành:  t2 + [1 – 2m]t + m2 -1 = 0 [2]

Để phương trình [1] vô nghiệm thì phương trình [2] vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

+ Xét TH1: Phương trình [2] vô nghiệm ⇔ Δ < 0

+ Xét TH2: Phương trình [2] có nghiệm âm

Vậy với m < -1 hoặc m > 5/4 thì phương trình [1] vô nghiệm

Đáp án là B

Câu 5: Số giá trị của m để phương trình  mx4 – 2[m – 1]x2 + m – 1 = 0 [1] có 1 nghiệm là

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Giải

Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành:  mt2 – 2[m – 1]t + m - 1 = 0 [2]

Nếu m = 0 thì phương trình [2] có dạng:  2t - 1 = 0 ⇔ t = 1/2

Suy ra m = 0 không thỏa mãn đề bài

Nếu m ≠ 0 thì phương trình [2] là phương trình bậc hai

Để phương trình [1] có 1 nghiệm thì phương trình [2] có nghiệm kép t = 0 hoặc có1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình [2] nên thay t = 0 vào [2] ta được:

m - 1 = 0 ⇔ m = 1

Với m = 1 thì phương trình [2] có dạng: t2 = 0 ⇔ t = 0 ⇒ x2 = 0 ⇔ x = 0

Suy ra m = 1 thỏa mãn đề bài

Vậy với m = 1 thì  phương trình [1] có 1 nghiệm

Đáp án là B

Câu 6: Tìm m để phương trình  [m + 2]x4 + 3x2 - 1 = 0 [1] có 4 nghiệm phân biệt

Giải

Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành:  [m + 2]t2 + 3t -1 = 0 [2]

Để phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] là phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt  

Vậy với

 thì phương trình [1] có 4 nghiệm phân biệt

Đáp án là C

Câu 7: Tìm m để phương trình  [m - 2]x4 – 2[m + 1]x2 + m - 1 = 0 [1] có 3 nghiệm phân biệt

A. m = 1                

B. m = -1

C. m = 0         

D. không tồn tại m

Giải

Đặt t = x2 [t ≥ 0], khi đó phương trình [1] trở thành:  [m - 2]t2 – 2[m + 1]t + m -1 = 0 [2]

Để phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình [2] phải là phương trình bậc hai có 2 nghiệm ,trong đó một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình [2] nên thay t = 0 vào [2] ta được:

m - 1 = 0 ⇔ m = 1

Với m = 1 thì phương trình [2] có dạng:

Suy ra m = 1 không thỏa mãn đề bài

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình [1] có 3 nghiệm

Đáp án là D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp