Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
I. Phương pháp giải
Cho hàm số y = f[x], gọi đồ thị của hàm số là [C].
Loại 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] tại M[x0; y0]
♦ Phương pháp
• Bước 1. Tính y’= f’[x] suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y’[x0]
• Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] tại điểm M[x0; y0] có dạng
y - y0 = f'[x0].[x - x0].
◊ Chú ý:
• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì khi đó ta tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y0 = f[x0]. Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải ra x0.
• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị [C]: y = f[x] và đường thẳng d: y= ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và [C]
Loại 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] có hệ số góc k cho trước.
♦ Phương pháp
• Bước 1. Gọi M [x0; y0] là tiếp điểm và tính y' = f'[x].
• Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k' f'[x0]. Giải phương trình này tìm được x0; thay vào hàm số được y0
• Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng
d: y – y0 = f'[x0].[x - x0]
◊ Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:
• Tiếp tuyến d // Δ: y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a.Tiếp tuyến d ⊥ Δ: y = ax + b, [a ≠ 0] hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a.
• Tiếp tuyến d ⊥ Δ: y = ax + b, [a ≠ 0] hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a.
• Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tanα
Loại 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[xA; yA].
♦ Phương pháp
Cách 1.
• Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A[xA; yA] hệ số góc k có dạng
d: y = k[x - xA] + yA [*]
• Bước 2: d là tiếp tuyến của [C] khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
• Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình [*], ta được tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2.
• Bước 1. Gọi M[x0; f[x0]] là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'[x0] = f'[x0] theo x0.
• Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = y'[x0].[x – x0] + y0 [**]. Do điểm A[xA; yA] d nên yA = y'[x0].[xA- x0] + y0 giải phương trình này ta tìm được x0.
• Bước 3. Thế x0 vào [**] ta được tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 2: Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
I. Phương pháp giải
Cho hàm số y = f[x] liên tục và có đạo hàm trên khoảng K. Để giải được các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số ta cần chú ý:
+ Tính đạo hàm của hàm số.
+ Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm; đi qua một điểm; tiếp tuyến biết hệ số góc...
+ Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc có tích hai hệ số góc bằng – 1.
+ Giao điểm của hai đồ thị hàm số.
+ Hệ thức Vi-et.
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng...
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 - 3x + 2 có đồ thị [C]Viết phương trình tiếp tuyến với [C] tại điểm có tung độy=4• Giải:• Ta có: y’=3x2-3• Với y0 = 4 .ta có pt:•x3 − 3x + 2 = 4⇔ x − 3x − 2 = 03 x0 = 2⇔ x0 = −1Với x0=2 , f’[2]=9, y0=4Pt tiếp tuyến: y=9[x-2]+4= 9x - 14Với x0=-1, f’[-1]=0,y0=4Pt tiếp tuyến: y= 0[x+1]+4=4KL: Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến thỏa mãn:y= 9x-14 và y=4 x +1y=x −1Ví dụ 4:Cho hàm sốViết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số• Giải:−2giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoànhy'=2• TXĐ: D = R \ { 1} Ta có:[ x − 1]• Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thịhàm số với trục Ox:Với x=-1 ta có f’[-1]=− 1x +1= 0 x ≠1Vậy pt tiếp tuyến có 2x −1dạng:1y = − [ x + 1] + 0⇔ x +1 = 02⇔ x = −111=− x−22[] Bài toán 2. Cho đồ thị [C]: y = f[x], viếtphương trình tiếp tuyến của đường cong [C]biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.phương pháp.+ Gọi toạ độ tiếp điểm là M[x0; y0]+ Từ giả thiết suy ra f’[xo] = k suy ra nghiệmx0.+ Pttt cần lập là y = k[x-x0] + f[x0]. Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của [C]:y=x + 3 x − 232biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3Giải:+ Gọi toạ độ tiếp điểm là M[x0; y0]y ' = 3x + 6x2+ Với k = -3 ta có phương trình:3x + 6x 0 = −320⇔ x0 = −1• Với x0=-1 ta có y0=0Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập:y=-3x − 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [y=x+căn[[[x]^[2]]+1] ] tại điểm có hoành độ [x=0 ] là:
Câu 57157 Vận dụng
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\] tại điểm có hoành độ \[x=0\] là:
Đáp án đúng: a
Phương pháp giải
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y=f\left[ x \right]\] tại điểm có hoành độ \[x={{x}_{0}}\] là \[y=y'\left[ {{x}_{0}} \right]\left[ x-{{x}_{0}} \right]+{{y}_{0}}\]
Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong --- Xem chi tiết
...Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x[[ [3-x] ]^2] tại điểm có hoành độ x = 2 là
Câu 55254 Nhận biết
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số $y = x{\left[ {3-x} \right]^2}$ tại điểm có hoành độ $x = 2$ là
Đáp án đúng: a
Phương pháp giải
Phương trình tiếp tuyến của \[\left[ C \right]\] tại điểm \[M\left[ {{x_o};{y_0}} \right]\] là: \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}\]
Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số --- Xem chi tiết
...
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} + 3{x^2}\] tại điểm có hoành độ \[{x_0} = 1\] có phương trình là
A.
B.
C.
D.