Hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình.. Câu 36 trang 57 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2 – Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:
a] \[2{x^2} – 7x + 2 = 0\]
b] \[2{x^2} + 9x + 7 = 0\]
c] \[\left[ {2 – \sqrt 3 } \right]{x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0\]
d] \[1,4{x^2} – 3x + 1,2 = 0\]
e] \[5{x^2} + x + 2 = 0\]
a]
\[\eqalign{ & 2{x^2} – 7x + 2 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { – 7} \right]^2} – 4.2.2 = 49 – 16 = 33 > 0 \cr} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[{x_1} + {x_2} = {7 \over 2};{x_1}{x_2} = {2 \over 2} = 1\]
b]
\[\eqalign{ & 5{x^2} + 2x – 16 = 0 \cr
& a = 5;c = – 16;ac < 0 \cr} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
Quảng cáo\[{x_1} + {x_2} = – {2 \over 5};{x_1}{x_2} = – {{16} \over 5}\]
c]
\[\eqalign{ & \left[ {2 – \sqrt 3 } \right]{x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0 \cr & \Delta ‘ = {2^2} – \left[ {2 – \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 2 } \right] = 4 – 4 – 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt 6 \cr
& = 2\sqrt 3 + \sqrt 6 – 2\sqrt 2 > 0 \cr} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = {{ – 4} \over {2 – \sqrt 3 }} = – 4\left[ {2 + \sqrt 3 } \right] \cr
& {x_1}{x_2} = {{2 + \sqrt 2 } \over {2 – \sqrt 3 }} = {{\left[ {2 + \sqrt 2 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]} \over {4 – 3}} = 4 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + \sqrt 6 \cr} \]
d]
\[\eqalign{ & 1,4{x^2} – 3x + 1,2 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { – 3} \right]^2} – 4.1,4.1,2 = 9 – 6,72 = 2,28 > 0 \cr} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = – {{ – 3} \over {1,4}} = {{30} \over {14}} = {{15} \over 7} \cr
& {x_1}{x_2} = {{1,2} \over {1,4}} = {6 \over 7} \cr} \]
e]
\[\eqalign{ & 5{x^2} + x + 2 = 0 \cr
& \Delta = 1 – 4.5.2 = 1 – 40 = – 39 < 0 \cr} \]
Phương trình vô nghiệm, không có tổng và tích của các nghiệm.
Với Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai Toán học lớp 9 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai.
A. Phương pháp giải
- Định lý Vi-et: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0] thì
- Sử dụng định lý Vi-et không cần giải phương trình ta vẫn có thể tính được tổng và tích các nghiệm hoặc các biểu thức có liên quan đến tổng và tích các nghiệm thông qua các bước sau:
+ B1: Tính ∆ = b2 – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm do đó không tồn tại tổng và tích các nghiệm của phương trình. Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2, ta thực hiện bước 2
+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 áp dụng Vi-et ta có:
Ví dụ 1: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 2[m + 5]x + m2 + 6 = 0.
Không giải phương trình tính
a. Tổng và tích các nghiệm theo m
b. Tính giá trị của biểu thức T = |x1 - x2| theo m
Giải
a. Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:
b. Ta có:
Ví dụ 2: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm [nếu có] của các phương trình sau
a. x2 – 6x + 7 = 0
b. 5x2 – 3x + 1 = 0
Giải
a. Ta có ∆ꞌ = [bꞌ]2 – ac = [-3]2 – 7 = 9 – 7 = 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Vi-et ta có:
Vậy tổng 2 nghiệm bằng 6, tích 2 nghiệm bằng 7
b. Ta có ∆ = b2 – 4ac = [-3]2 – 4.5.1 = 9 – 20 = -11 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Suy ra không tồn tại tổng và tích các nghiệm
Ví dụ 3: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 5x + 2 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:
A = x12 + x22 = [x1 + x2]2-2x1.x2 = 52 - 2.2 = 25 - 4 = 21
Vậy A = 21
B. Bài tập
Câu 1: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – [2m + 1]x + m2 +1 = 0. Tính giá trị của biểu thức
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:
Đáp án đúng là C.
Câu 2: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – [2m + 1]x + m2 +2 = 0. Tìm m để biểu thức A = x1.x2 – 2[x1 + x2] – 6 đạt giá trị nhỏ nhất
A. m = 1
B. m = 2
C. m = -12
D. m = 3
Giải
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo Vi-et ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -10 đạt được khi m – 2 = 0 hay m = 2
Thay m = 2 vào phương trình ta được: x2 – 5x + 6 = 0.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = 2, x2 = 3.
Suy ra m = 2 [thỏa mãn]
Đáp án đúng là B
Câu 3: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 - 3x - m = 0.
Tính giá trị của biểu thức A = x12[1 - x2] + x22[1-x1]
A. –m + 9
B. 5m + 9
C. m + 9
D. -5m + 9
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:
Vậy đáp án đúng là B
Câu 4: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình [m - 2]x2 – [2m + 5]x + m +7 = 0 [m ≠ 2]. Tính tích các nghiệm theo m
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:
Đáp án đúng là A
Câu 5: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0. Tìm m để biểu thức A = |2x1x2 + x1 + x2 - 4| đạt giá trị lớn nhất
Giải
Ta có: Δ' = m2 - 2m2 + 4 = -m2 + 4
Phương trình có hai nghiệm khi Δ' ≥ 0 ⇔ -m2 + 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≤ 4 ⇔ |m| ≤ 2 [*]
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo Vi-et ta có:
Vậy giá trị lớn nhất của A là
Ta thấy
Đáp án đúng là C
Câu 6: Tổng 2 nghiệm của phương trình 2x2 – 10x + 3 = 0 là
A. 5
B. -5
C. 0
D. Không tồn tại
Giải
Ta có ∆ꞌ = [bꞌ]2 – ac = [-5]2 – 3.2 = 25 – 6 = 19 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Viet ta có: x1 + x2 = 5.
Vậy đáp án đúng là A
Câu 7: Tích 2 nghiệm của phương trình x2 – x + 2 = 0 là
A. -2
B. 2
C. 1
D. Không tồn tại
Giải
Ta có ∆ = b2 – 4ac = [-1]2 – 4.1.2 = 1 – 8 = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm.
Suy ra không tồn tại tích 2 nghiệm
Vậy đáp án đúng là D
Câu 8: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình - x2 + 3x + 1 = 0.
Khi đó giá trị của biểu thức là A = x1[x2 - 2] + x2[x1 - 2]
A. -7
B. -8
C. -6
D. Không tồn tại
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:
Vậy đáp án đúng là B
Câu 9: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 - 2[m – 1]x + 2m2 – 3m + 1 = 0. Tìm m để biểu thức A = |x1x2 + x1 + x2| đạt giá trị lớn nhất
Ta thấy
Giải
Phương trình có hai nghiệm khi Δ' ≥ 0
Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2 theo Vi-et ta có:
Vậy giá trị lớn nhất của A là
Ta thấy
Đáp án đúng là C