Phần tham khảo mở rộng
Dạng 1: Phương trình mặt phẳng [P] đi qua 1 điểm và biết VTPT hoặc cặp VTCP
+] Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] khi biết vecto pháp tuyến \vec{n}[A; B; C] và một điểm M_{0}[x_{0}; y_{0}; z_{0}] thuộc [P].
- $\Rightarrow$ phương trình [P] có dạng $A[x-x_{0}]+ B[y-y_{0}]+ C[z-z_{0}]=0$
- Khai triển và rút gọn ta được dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0, với D = $-[Ax_{0}+By{0}+Cz{0}]$
+] Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa ba điểm không thẳng hàng M, N, I :
- Tìm vecto pháp tuyến của [P] $\vec{n_{p}}=\left [ \vec{MN},\vec{MI} \right ]$.
- Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến $\vec{n_{p}}$ như loại 1
II.Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M[2; 5; -7] có vecto pháp tuyến $\vec{n_{p}} [5; -2; -3]$.
Bài giải:
Mặt phẳng [P] đi qua điểm M[2; 5; -7] có vecto pháp tuyến $\vec{n_{p}} [5; -2; -3]$ có phương trình:
5[x-2] -2[y-5] -3[z+7] = 0
$\Leftrightarrow $ 5x - 2y - 3z - 21 = 0.
Bài tập 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm A[2;-1;3], B[4;0;1], C[-10;5;3]
Bài giải:
Ta có: $\vec{AB}=[2;1;-2];\vec{ AC}=[-12;6;0]$
Gọi $\vec{a}=\left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ]=\left [ \begin{vmatrix} 1& -2\\ 6 & 0\end{vmatrix};\begin{vmatrix} -2& 2\\ 0 & -12\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2& 1\\ -12 & 6\end{vmatrix} \right ]=[12;24;24]=[1;2;2]$
Ta chọn vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là $\vec{AC}[1;2;2]$.
Từ đó ta tìm được phương trình của mặt phẳng [P] là :
1.[x-2] + 2.[y+1] + 2.[z-3] = 0
hay x + 2y + 2z - 6 = 0.
Trắc nghiệm hình học 12 bài 2: Phương trình mặt phẳng
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách: Phương pháp giải. Kiến thức cần nhớ: 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt. 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu. Ví dụ 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: 2y – 2z + 1= 0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x2 + y2 + 22 + 2c – 44 – 22 – 3 = 0. Mặt cầu [S] có tâm I[-1; 2; 1] và bán kính R= V[-1]^2 + 12 + 3 = 3. Do [P] song song với mặt phẳng [Q] nên phương trình của mặt phẳng [P] có dạng: x + 2y – 2z + D = 0, D + 1. Ví dụ 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu [S] có phương trình: x2 + y + 2 – 2x + 6g – 43 – 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [P] song song với giá của véctơ n = [1; 6; 2], vuông góc với mặt phẳng [a]: x + 4 và tiếp xúc với [S]. Mặt cầu [S] có tâm I[1; -3; 2] và bán kính R = 4. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng [a] là I = [1; 4; 1]. Suy ra vectơ pháp tuyến của [P] là: P = [2; -1; 2]. Phương trình của [P] có dạng: 20 – 2x + m = 0. Vì [P] tiếp xúc với [S] nên d[I, [P]]. Vậy phương trình mặt phẳng [P]: 23 – g + 22 + 3 = 0 hoặc [P]: 2x – 4 + 2z – 21 = 0. Ví dụ 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S]: c2 + y2 + 2 + 2x – 40 – 4 = 0 và mặt phẳng [P]: 04 – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [Q] đi qua điểm M[3; 1; -1] vuông góc với mặt phẳng [P] và tiếp xúc với mặt cầu [S]. Mặt cầu [S] có tâm I[-1; 2; 0] và bán kính R = 3; mặt phẳng [P] có véctơ pháp tuyến [1; 0; 1]. [Q]: 2x + 2y + z – 6 = 0 hoặc [Q]: 100 – 10g + 2z – 5 = 0. Ví dụ 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S]: x + y2 + x2 – 2x + 4 + 2x – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa trục Ox và cắt mặt cầu [S] theo một đường tròn có bán kính r = 3. Mặt cầu [S] có tâm I[1; -2; -1], bán kính R = 3. Mặt phẳng [P] chứa Ox, nên phương trình mặt phẳng [P] có dạng: ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên [P] đi qua tâm I. Suy ra: – 2a – b = 0 + b = -2a[a + 0] » [P]: y – 2 = 0. Ví dụ 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S] : 22 + 2x – 2y + 2x – 1 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d và cắt mặt cầu [S] theo một đường tròn có bán kính r = 1. [P]: x + y – 3 – 4 = 0. Với [2] + [P] : 7 – 17x + 5 – 4 = 0. Ví dụ 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu [S], mặt phẳng [a] có phương trình 2x + 2y – 8 + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [8] song Song với [a] và cắt mặt cầu [S] theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p = 6T. Do [a] || [8] nên mặt phẳng [8] có phương trình 2x + 2y = 0. Mặt cầu [S] có tâm I[1; -2; 3], bán kính R = 5. Đường tròn giao tuyến có chu vi 60 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ 1 tới [3] là h = R2 = r2. Vậy [8] có phương trình 2x + 2y – 3 – 7 = 0.
Ví dụ 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A[1; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0; c] trong đó b, c dương và mặt phẳng [P]: y = 0. Viết phương trình mặt phẳng [ABC] biết mặt phẳng [ABC] vuông góc với mặt phẳng [P] và khoảng cách từ điểm 0 đến mặt phẳng [ABC] bằng 3. Vậy phương trình mặt phẳng [ABC]: 1 + 2y + 2 = 1.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác: Phương pháp giải. Giải bài toán viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc hoặc liên quan đến tam giác thường phải sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng và phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn dưới đây: Giả sử [a]: A + B + C + D = 0 và [8]: A’c + B’g + Cc + D = 0 có các véctơ pháp tuyến tương ứng là ma = [A; B; C] và I = [A’; B’; B]. Khi đó, góc C giữa hai mặt phẳng [a] và [3]. Phương trình mặt phẳng [P] đi qua ba điểm A[a; 0; 0], B[0; b; 0] và C[0; 0; c] [với abc + 0]. Ví dụ 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [a]: 2x – y + 3z – 5 = 0 và A[3; -2; 1]. Viết phương trình mặt phẳng [P] qua A và song song với [a]. [P] || [a] = [2; -1; 3] là véctơ pháp tuyến của [P]. Suy ra phương trình của [P] là 2[x – 3] – 1[y + 2] + 3[z – 1] = 1 # 2x – y + 3x – 11 = 0]. Ví dụ 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[3; 1; -1], B[2; -1; 4] và [a]: z – 2y + 3z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [8] qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng [a]. Vậy phương trình của [3]: 1[2 – 3] + 2[x – 1] + 1[x + 1]= 0 + 2 + 2y + x – 4 = 0. Ví dụ 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng [P] : 45c + y + 2z = 0 một góc bằng 60°. Véctơ pháp tuyến của [P] là mp = [V5; 1; 2], véctơ đơn vị của Ox là i = [1; 0; 0]. Giả sử ma = [a; b; c], a2 + b2 + 4c2 là véctơ pháp tuyến của [a]. Vậy phương trình của [a]: 3y + z = 0. Chọn b = 1, c = -3 = m = [0; 1; -3]. Suy ra phương trình của [a]: 4 – 32 = 0. Ví dụ 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho [P]: 50 – 2y + 5x – 1 = 0 và [Q] : 2 – 4 – 8x + 12 = 0. Lập phương trình mặt phẳng [a] đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng [P] và hợp với mặt phẳng [Q] một góc 45°. [P] có véctơ pháp tuyến là m = [5; -2; 5]. [Q] có véctơ pháp tuyến là mo = [1; -4; -8]. Gọi a = [a; b; c], a2 + b^ + c^2 là véctơ phép tuyến của [a]. [a] I [P] = 0 + 5a – 2b + 5c, x + 20y + 72 = 0. Ví dụ 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A[3; 0; 0], C[0; 0; 1] và cắt trục Ox tại điểm B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 5. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua điểm M[2; -1; 4] và Song song với mặt phẳng [P]: 3x – y + 2z = 0. [a] || [P] = P = [3; -1; 2] là véctơ pháp tuyến của [a]. [a] đi qua M[2; -1; 4]. Suy ra [a] : 3[x – 2] – 1[y + 1] + 2[2 – 4] = 0 + 3x – y + 2z – 15 = 0. Bài 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [a] đi qua hai điểm A[1; 1; -1], B[0; 2; 1] và vuông góc với mặt phẳng [8]: -x + x + 10 = 0. Ta có véctơ pháp tuyến của [8] là 8 = [-1; 0; 1] và AB = [4; 1; 2]. a = AB, n3 = [1; –6; 1]. [a] đi qua A[1; 1; -1] và nhận ra = [1; -6; 1] là véctơ pháp tuyến. Suy ra phương trình của [a]: 1[x – 1] – 6[y – 1] + 1[2 + 1] = 1 # x – 6y + z + 6 = 0. Bài 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng [a]: 20 – 3 – 1 = 0, [B]: 40 – 3x + z – 3 = 0 và tạo với mặt phẳng [Q]: 0 – 2x + 2z + 1 = 0. Suy ra [P]: 16[z – 0] + 5[x + 1]- 13[x – 1] = 0 + 16x + 5g – 13z +5 = 0. Bài 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M[-1; -1; 3], N[3; 1; 5] và mặt phẳng [Q]. Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M, N và tạo với [O] một góc nhỏ nhất. Vậy [P] : 0[ + 1] + 1[x + 1]- 1[z – 3] = 0.
Bài 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] biết nó đi qua điểm G[-1; 2; -3] và cắt các trục Ox, Oy, 02 lần lượt tại các điểm A, B,C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Do A, B,C lần lượt thuộc Ox, Oy, Oz nên A[a; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0; c]. Khi đó mặt phẳng [P]: C = 1 [*]. a b c Do G là trọng tâm tam giác ABC. Vậy phương trình [P]: x = 1.