Đề bài - câu 64 trang 62 sách bài tập hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC.

a) Xác định đường thẳng qua M cắt AN và cắt AB.

b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với AN và AB. Hãy tìm tỉ số \({{IM} \over {{\rm{IJ}}}}\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử đã dựng được đường thẳng \(\Delta \) cần tìm cắt cả AN và BA. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với AN và BA.

Xét phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương chiếu AB. Khi đó ba điểm I, J, M lần lượt có hình chiếu là B, I và M. Do đó ba điểm B, I, M thẳng hàng. Gọi N là hình chiếu của N thì AN là hình chiếu của AN. Vì I thuộc AN nên I thuộc AN. Vậy I là giao điểm của BM và AN.

Từ phân tích ở trên ta có thể dựng đường thẳng \(\Delta \) theo các bước sau đây:

- Lấy giao điểm I của AN và BM.

- Trong mp(ANN) dựng II // NN (đã có NN // CD) cắt AN tại I.

- Vẽ đường thẳng MI, đó là đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.

Dễ chứng minh được, đường thẳng \(\Delta \)nói trên cắt BA.

b) Dễ thấy: MC = CN

suy ra: MN = CD = AB.

Do đó I là trung điểm của BM.

Mặt khác II // JB, nên II là đường trung bình của tam giác MBJ, suy ra:

\(IM = {\rm{IJ}} \Rightarrow {{IM} \over {IJ}} = 1\)