Đề bài
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường tròn \[\left[ C \right]\] có phương trình \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 4\]. Phép vị tự tâm \[O\] tỉ số \[k = - 2\] biến \[\left[ C \right]\] thành đường tròn có phương trình
A. \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} = 16\]
B. \[{\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 4\]
C. \[{\left[ {x - 4} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 16\]
D. \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y + 4} \right]^2} = 16\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phép vị tự tỉ số \[k\] biến đường tròn bán kính \[R\] thành đường tròn có bán kính \[R' = \left| k \right|R\].
Lời giải chi tiết
Đường tròn \[\left[ C \right]\] có tâm \[I\left[ {1;2} \right]\] và bán kính \[R = 2\].
Gọi \[I' = {V_{\left[ {O; - 2} \right]}}\left[ I \right]\]. Khi đó \[\overrightarrow {OI'} = k\overrightarrow {OI} \]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 0 = - 2\left[ {1 - 0} \right]\\y' - 0 = - 2\left[ {2 - 0} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - 2\\y' = - 4\end{array} \right.\].
Suy ra \[I'\left[ { - 2; - 4} \right]\].
Đường tròn \[\left[ {C'} \right]\] là ảnh của \[\left[ C \right]\] qua \[{V_{\left[ {O; - 2} \right]}}\] nên \[R' = 2R = 4\].
Vậy \[\left[ {C'} \right]:{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y + 4} \right]^2} = 16\].
Chọn D.