Đề bài
Cho \[a, b, c\] là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: \[{b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}[{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2}]x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng bất đẳng thức tam giác:\[a + b + c > 0,\;\;\left| {a - c} \right| < b < a + c.\]
Lời giải chi tiết
Biệt thức của tam thức vế trái:
\[{\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{{\left[ {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]}^2}-{\rm{ }}4{b^2}{c^2}}\]
\[ = {\rm{ }}\left[ {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^{2}} + {\rm{ }}2bc} \right].\]\[{\rm{ }}\left[ {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2} - 2bc} \right]\]
\[{ = {\rm{ }}\left[ {{{\left[ {b + c} \right]}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]\left[ {{{\left[ {b - c} \right]}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]}\]
\[ = {\rm{ }}\left[ {b + a + c} \right].\left[ {b + c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right].\]\[\left[ {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c + a} \right].\left[ {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right]{\rm{ }} \]
Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:
b < c + a b c a < 0
c < a + b b c + a > 0
a < b + c b + c a > 0
a, b, c > 0 a + b + c > 0
Δ < 0 f[x] cùng dấu với b2x hay f[x] > 0 x .
Nghĩa là: \[{b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}[{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2}]x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\]