Cùng tìm hiểu phương trình lượng giác qua bài viết cùng bài giảng dưới đây nhé!.
Các dạng phương trình lượng giác
Phương trình sinx = m
Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\sin \alpha = m\].
Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = \pi – \alpha +k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]
Phương trình cosx = m
Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\cos \alpha = m\] .
Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = – \alpha + k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]
Phương trình tanx = m
Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\tan \alpha = m\].
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
\[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k \epsilon \mathbb{Z}]\]
Hoặc \[\tan x = m \Leftrightarrow m – \arctan m + k\pi\] [m bất kỳ]
Chú ý: \[\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\], \[\tan x\] không xác định khi \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi\]
Phương trình cot[x] = m
Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\csc \alpha = m\].
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
\[\csc x = \csc \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k\epsilon \mathbb{Z}]\] Hoặc \[\cot x = m \Leftrightarrow m = \textrm{arccsc}m + k\pi\] [m bất kỳ]
Chú ý: \[\csc x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\],
\[\csc x\] không xác định khi \[x = k\pi\]
Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:
Phương trình lượng giác chứa tham số
Phương trình lượng giác chứa tham số dạng \[a\sin x + b \cos x = c\] có nghiệm khi và chỉ khi \[a^{2} + b^{2} \geq c^{2}\]
Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:
- Thứ nhất đưa về PT lượng giác cơ bản
- Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm
Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản
- Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
- Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước
Ví dụ: Xác định m để phương trình \[[m^{2} – 3m + 2]\cos ^{2}x = m[m-1]\] [1] có nghiệm.
Cách giải
\[[1]\Leftrightarrow [m-1][m-2]\cos ^{2}x = m [m-1]\] [1’]
Khi m = 1: [1] luôn đúng với mọi \[x\epsilon \mathbb{R}\]
Khi m = 2: [1] vô nghiệm
Khi \[m\neq 1; m\neq 2\] thì:
[1’] \[\Leftrightarrow [m-2]\cos ^{2}x = m \Leftrightarrow \cos ^{2}x = \frac{m}{m-2}\] [2]
Khi đó [2] có nghiệm \[\Leftrightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0\]
Vậy [1] có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, \[m\leq 0\]
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát
Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g[x,m] = 0 [1]. Xác định m để phương trình [1] có nghiệm \[x\epsilon D\]
Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ t = h[x] trong đó h[x] là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình [1]
- Tìm miền giá trị [điều kiện] của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
- Đưa phương trình [1] về phương trình f[m,t] = 0
- Tính f’[m, t] và lập bảng biến thiên trên miền D1
- Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.
Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của DINHNGHIA.VN. Nếu có góp ý hay băn khoăn thắc mắc gì các bạn bình luận bên dưới nha.Cảm ơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé ^^
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:
[Nguồn: www.youtube.com]
Please follow and like us:
trong: Toán học, Toán học lớp 11, Đại số
Xem mã nguồn
- m [-1;1] => phương trình vô nghiệm
- m ∈ [-1;1] thì:
- sinx=sinα [α = SHIFT sin]
- Nếu m không là "giá trị đặc biệt" thì:
- x = arcsinm + k2.pi [arc = SHIFT sin]
- x = pi - arcsinm + k2.pi
- sinx = 1 x=
- sinx = -1 x=
- sinx = 0 x=k.pi
- m [-1;1] => phương trình vô nghiệm
- m ∈ [-1;1] thì:
- cosx=cosα [α = SHIFT sin]
- Nếu m không là "giá trị đặc biệt" thì:
- x = ±arccosm + k2.pi [arc = SHIFT cos]
- cosx = 1 x=
- cosx = -1 x=
- cosx = 0 x=
- tanx=tanα [α = SHIFT tan]
x = α + k.pi [α: rad, k∈Z]
x = a + k.360° [α: độ°, k∈Z]
- Nếu m "không là giá trị đặc biệt thì
cotx=m
- cotx=cotα [α = SHIFT tan[1/m]]
x = α + k.pi [α: rad, k∈Z]
x = a + k.360° [α: độ°, k∈Z]
- Nếu m "không là giá trị đặc biệt thì
Xem lại các giá trị lượng giác của các góc, cung đặc biệt:
Một số dạng toán
Biến đổi
- sinf[x] = -sing[x] = sin[-g[x]]
- sinf[x] = cosg[x] → sinf[x] = sin[pi/2 - g[x]]
- sinf[x] = -cosg[x] → cosg[x] = -sinf[x] = sin[-f[x]] → cosg[x] = cos[pi/2 - f[x]]
- Khi có , ta thường "hạ bậc tăng cung".
Tìm nghiệm và số nghiệm
1] Giải phương trình A với x ∈ a.
- Trước hết tìm họ nghiệm của phương trình a.
- Xét x trong a. Lưu ý k ∈ Z. Khi tìm được k, quay lại họ nghiệm để tìm ra nghiệm x.
2] Tìm số nghiệm k
- Các bước tương tự như trên.
- Tìm được k → số nghiệm.
Tìm giâ trị lớn nhất và nhỏ nhất
Tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất
1] Với nghiệm âm lớn nhất
- Xét x < 0 [k ∈ Z]
- Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.
2] Với nghiệm dương nhỏ nhất
- Xét x > 0 [k ∈ Z]
- Thay vào họ nghiệm để tìm nghiệm.
Tìm tập giá trị
Tìm tập giá trị của phương trình A.
- Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai.
- Đặt phương trình lượng giác [sin, cos...] = t [nếu có điều kiện]
- Tìm đỉnh I [-b/2a; -Δ/4a]
- Vẽ bảng xét giả trị [hình minh họa]: [pt âm → mũi trên đi ↑ rồi ↓ và ngược lại]
- Tìm miền giá trị tại hai điểm thuộc t [thay 2 giá trị đó vào t] rồi rút ra kết luận.
- Chú ý: Asinx + Bcosx = C