§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ U được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu U * 0 và giá của U song song hoặc trùng A.
Phương trình tham sô' của đường thẳng
X = x0 +
y = y0 + u2t
[t e R]
Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M0[x0; y0] và nhận U [Ui; u2] làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham sô' của đường thẳng A là:
u9 .
Nêu Ui * 0 thì k = là hệ sô góc của A. U1
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng A nếu n*0 và n vuông góc với vectơ ch? phương của A.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: Nếu đường thẳng A có phương trình là ax + by + c = 0 thì A có vectơ pháp tuyến là n = [a; b] và vectơ chỉ phương là U = [-b; a].
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Đường thẳng A cắt Ox và Oy lần lượt tại M[a, 0] và N[0; b] [với a * 0, b * 0]
có phương trình là: + Ị = 1 a b
VỊ trí tương đổi của hai đường thẳng
ChoA,: aìX + b,y + c, = 0 A2: a2x + b2y + c2 = 0
A,, A2 cắt nhau
A-I H A2
a1 b1
= 0
ai bi
a2 b2
hoặc
a2 b2
b1 Cl
*0
C1 ai
b2 c2
c2 a2
*0
, , a. bi
A2 cat nhau -A. L
Ai A2 o
Trường hợp a2, b2, c2 đều khác 0, thì:
. ai bi C1
A, // A2 L = -L TÍ
ai bi C1
A[ = A2 AA- = p- = -Al.
a2 b2 c2
Góc giữa hai đưởng thẳng
Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi [à số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay góc giữa a và b.
Khi a song song hoặc trùng với b ta quy ước góc giữa chúng bằng 0°
Cho A|: A,x + B^y + C-I = 0 và A2: A2X + B2y + c2 = 0
a là góc giữa A, và A2 thì cosa =
I A4An + B.|B2 ị
i'f2 1
A2+B2
= COS
[rvnJ
Đặc biệt: ả] 1A2o A,A2 + B,B2 = 0
Nếu Ai và A2 có phương trình y - k,x + m, và y = k2x + m2
thì Ai 1 A2 k1.k2 = - 1.
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0[x0; yo]. Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng A, kí hiệu là d[M0,A]. được tính bởi công thức:
d[M0,A]:
Ti
|ax0 +by0 + c|
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Lập phương trình tham sô' của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
d đi qua điểm M[2; 1] và có vectơ chỉ phương u = [3; 4];
d đi qua điểm M[-2; 3] và vectơ pháp tuyến là n = [5; 1].
[ỹiắé
Ta có: M[2; 1] và U = [3; 4].
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ
, , , " - fx = 2 + 3t
chỉ phương u là: <
[y = l + 4t
M[-2; 3]; vectơ pháp tuyến n = [5; 1] thì d có vectơ chỉ phương U = [1; -5]
, f X = -2 + t
Phương trình tham sô của d là: <
[y = 3-5t
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau:
A đi qua M[-5; -8] và có hệ sô góc k = -3; b] A đi qua hai điểm A[2; 1] và B[-4; 5].
ỹiắi
Phương trình đường thẳng A đi qua M[-5; -8] có hệ sô' góc k = -3 là:
y - yM = k[x - XM] y + 8 = -3[x + 5] 3x + y + 23 = 0
A có vectơ chỉ phương AB = [-6; 4]
x , > » V - íx = 2 - 6t
Phương trình tham sô của đường thắng A đi qua A và B là: <
[y = l + 4t
Khử t ta được: x -2 = y -1 2x + 3y - 7 - 0.
3.
-6 4
Cho tam giác ABC, biết A[1; 4], B[3; -1] và C[6; 2].
Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA;
Lập phương trình tổng quát cùa đường cao AH và trung tuyến AM.
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
X~*A = y-yA -5x + 5 = 2y - 8 o 5x + 2y - 13 = 0
XB-XA yB-yA 3-1 -1"4
Tương tự BC: X - y - 4 = 0; CA: 2x + 5y - 22 = 0
Đường cao AH đi qua A[ 1; 4] vuông góc với BC nên AH: X + y + c = 0 AH qua A[l; 4] nên l + 4 + C = 0=>C = -5.
Vậy phương trình đường cao AH: X + y - 5 = 0.
M là trung điểm của BC thì M
Phương trình trung tuyến AM:
^x+y-5 = 0.
XA-XM yA-yM 4_i
2 2
Viết phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M[4; 0] và điểm N[0; -1].
Áp dụng phương trình đoạn chắn.
Phương trình đường thẳng qua hai điểm M[4; 0] và N[0; -1] là
4 + = lo-x + 4y + 4 = 0 X - 4y - 4 = 0.
4-1 7 J
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng Ơ1 và d2 sau đày:
df 4x - 10y + 1 = 0 và d2: X + y + 2 = 0;
dt: 12x - 6y + 10 = 0 và d2: c = 5 + t_
[y = 3 + 2t
d,:8x+ 10y - 12 = 0 và d2: jx = z6 + 5t
ly = 6-4t
4 -10
Ta có nên di và d2 cắt nhau.
11
Phương trình t ,ng quát của d2 là: d2 : 2x - y - 7 = 0.
_ , 12 -6 10 , .. ,
Ta có = nên di // d2.
2-1-7
Phương trình tổng quát của d2 là: d2: 4x + 5y - 6 = 0.
, 8 _ 10 _ -12 . , _ ,
Ta có = = nên di = d2.
IX 2 I
6. Cho đường thẳng d có phương trinh tham sô'
4 5-6
y = 3 + t
Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A[0; 1] một khoảng bằng 5.
ỹiẰi
Ta có M[2 + 2t; 3 + t] e d và AM = 5
AM = 5 AM2 = 25 [2 + 2t]2 + [2 + t]2 = 25
5t2 + 12t - 17 = 0 »
Vậy có hai điểm M thoả mãn đề bài là: Mi[4; 4]; M2^-^;--|j.
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng dt và ci2 lần lượt có phương trình dư4x-2y + 6 = 0 và d2: X - 3y + 1 = 0.
ỹiẦí
Ta có dp 4x - 2y + 6 = 0 d2: X - 3y + 1 = 0.
Gọi tp là góc giữa di và d2 có:
costp =
10 _ 72 1072 - 2
|aia2+bib2| _ |4 + 6| _ 10
- VĩẽTĨ.TĩTõ " 72Õ.7ĨÕ
Vậy: [p = 45°.
A[3; 5],
B[1;-2],
C[1;2],
Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:
A: 4x + 3y + 1 =0; d: 3x - 4y - 26 = 0; m: 3x + 4y - 11 =0.
Ta có A[3; 5]
A: 4x + 3y + 1 = 0
Ta có C[l; 2]
m: 3x + 4y - 11 = 0
d[C,m] , l ựgl- nl 0 . vậỵ c e m.
79 + 16
Tim bán kính của đường trồn tàm C[-2; -2] tiếp xúc với đường thẳng A:
5x+ 12y-10 = 0
ỹiải
Bán kính đường tròn là khoảng cách từ c đến A.
R g d[C, A] =
725 +144 13
44
Vậy R =
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
Cho tam giác ABC có phương trinh cạnh AB là 6x - 3y + 2 = 0. Các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x - 3y + 1 = 0,7x + 2y - 22 = 0. Lập phương trình tổng quát hai cạnh AC, BC và đường cao qua c.
rựcứcttỹ [tẩn
Gọi H là trực tâm tam giác ABC: [A] = AB r\ AH => A[-l; -1]
|B[ = AB n HB => B[2; 4]
AC: 2x - 7y - 5 - 0; BC: 3x + 4y - 22 = 0; CH: 3x + 5y - 23 = 0
Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác ABC nếu cho B[-4; -5] và hai đường cao có phương trình là:
5x + 3y - 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0
Giả sử hai đường cao AH: 3x + 8y.+ 13 = 0; CK: 5x + 3y - 4 = 0 AB qua A và vuông góc với CK nên AB: 3x - 5y - 13 = 0 BC qua B và vuông góc với AH nên BC: 8x - 3y + 17 = 0
AC: 5x + 2y - 1 = 0
Cho ba trung điểm của ba cạnh của tam giác là: M, [2 ; 1], M2[5 ; 3], M3[3; -4]. Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác.
a] 2x + 3y + 1 =0
và
4x + 5y - 6 = 0;
b] 4x - y + 2 = 0
và
-8x + 2y + 1 =0;
c] 3x - 2y + 1 =0
và
-6x + 4y - 2 = 0.
5. Viết phương trình
các
cạnh của tam giác ABC nếu cho A[1; 3] và hai
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao điểm.
đường trung tuyến có phương trình là: X - 2y + 1 = 0 và y - 1 =0.
Cho tam giác ABC, có trung điểm một cạnh là M[-1; 1] còn hai cạnh kia có phương trinh là X + y - 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
dẳtí
Giả sử M là trung điểm BC, hai cạnh có phương trình đã cho là AB, AC. Xác định được A, các trung điểm p, Q của các cạnh AB và AC.
Cho hình vuông đỉnh A[-4; 5] và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7x - y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.
dẩti
Đường chéo AC: X + 7y - 31 = 0
Đường thẳng AB hợp với đường chéo AC một góc 45°.
Cho hai điểm P[2; 5] và Q[5; 1]. Viết phương trình đường thẳng đi qua p sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3.
ĩ]afitĩ: 7x + 24y 134 = 0.
Cho tam giác ABC có diện tích bằng , hai đỉnh A[3; -3], B[3; -2] và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh c.
Cho ba đường thẳng dư 3x + 4y - 6 = 0; d2: 4x + 3y - 1 = 0; d3: y = 0. Gọi A là giao điểm của d, và d2, {B} = d2 n d3; {C} = d, nd2
Viết phương trình phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC.
Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp AABC.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P[2; 1] sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d[: 2x - y + 5 = 0 và đ2: 3x + 6y - 1 =0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của dì và d2.
4».' 3x + y - 5 = 0; X - 3y - 5 = 0.
Video liên quan