Bài 23 trang 16 sgk toán 9 tập 1 năm 2024

Bài 22 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:

1. \( \sqrt{13^{2}- 12^{2}}\); b) \( \sqrt{17^{2}- 8^{2}}\);

3. \( \sqrt{117^{2} - 108^{2}}\); d) \( \sqrt{313^{2} - 312^{2}}\).

Lời giải:

Câu a: Ta có:

\(\sqrt{13^{2}- 12^{2}}=\sqrt{(13+12)(13-12)}\)

\(=\sqrt{25.1}=\sqrt{25}\)

\(=\sqrt{5^2}=|5|=5\).

Câu b: Ta có:

\(\sqrt{17^{2}- 8^{2}}=\sqrt{(17+8)(17-8)}\)

\(=\sqrt{25.9}=\sqrt{25}.\sqrt{9}\)

\(=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}=|5|.|3|\).

\(=5.3=15\).

Câu c: Ta có:

\(\sqrt{117^{2} - 108^{2}} =\sqrt{(117-108)(117+108)}\)

\(=\sqrt{9.225}\) \(=\sqrt{9}.\sqrt{225}\)

\(=\sqrt{3^2}.\sqrt{15^2}=|3|.|15|\)

\(=3.15=45\).

Câu d: Ta có:

\(\sqrt{313^{2} - 312^{2}}=\sqrt{(313-312)(313+312)}\)

\(=\sqrt{1.625}=\sqrt{625}\)

\(=\sqrt{25^2}=|25|=25\).

Bài 23 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Chứng minh.

1. \((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1\);

2. \((\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\) là hai số nghịch đảo của nhau.

Phương pháp:

Sử dụng các công thức sau:

+) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

+) \((\sqrt{a})^2=a\), với \(a \ge 0\).

+) Muốn chứng minh hai số là nghịch đảo của nhau ta chứng minh tích của chúng bằng \(1\).

Lời giải:

Câu a: Ta có:

\((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1\)

Câu b:

Ta tìm tích của hai số \((\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\) và \((\sqrt{2006} + \sqrt{2005})\)

Ta có:

\((\sqrt{2006} + \sqrt{2005}).(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})\)

\= \((\sqrt{2006})^2-(\sqrt{2005})^2\)

\(=2006-2005=1\)

Do đó \( (\sqrt{2006} + \sqrt{2005}).(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})=1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2006}-\sqrt{2005}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}\)

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau.

Bài 24 trang 15 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau:

\(a)\) \( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) tại \(x = - \sqrt 2 \);

\(b)\) \( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)}\) tại \(a = - 2;\,\,b = - \sqrt 3 \).

Lời giải:

1. Ta có:

\( \sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}}\) \(=\sqrt {4}. \sqrt {{{(1 + 6x + 9{x^2})}^2}} \)

\(=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2)^2}\)

\(=\sqrt{2^2}.\sqrt{\left[1^2+2.3x+(3x)^2\right]^2}\)

\(=2.\sqrt {{{\left[ {{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}} \right]}^2}} \)

\(=2.\left|(1+3x)^2\right|\)

\(=2(1+3x)^2\).

(Vì \( (1+3x)^2 > 0 \) với mọi \(x\) nên \(\left|(1+3x)^2\right|=(1+3x)^2 \))

Thay \(x = - \sqrt 2 \) vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

\( 2{\left[ {1 + 3.(-\sqrt 2) } \right]^2}=2(1-3\sqrt{2})^2\).

Bấm máy tính, ta được: \( 2{\left( {1 - 3\sqrt 2 } \right)^2} \approx 21,029\).

2. Ta có:

\( \sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)} =\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}\)

\(=\sqrt{(3a)^2.(b^2-2.b.2+2^2)}\)

\(=\sqrt{(3a)^2}. \sqrt{(b-2)^2}\)

\(=\left|3a\right|. \left|b-2\right| \)

Thay \(a = -2\) và \(b = - \sqrt 3 \) vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

\(\left| 3.(-2)\right|. \left| -\sqrt{3}-2\right| =\left|-6\right|.\left|-(\sqrt{3}+2) \right|\)

\(=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12\).

Bấm máy tính, ta được: \(6\sqrt{3}+12 \approx 22,392\).

Bài 25 trang 16 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tìm \(x\) biết:

1. \( \sqrt{16x}= 8\); b) \( \sqrt{4x} = \sqrt{5}\);

3. \( \sqrt{9(x - 1)} = 21\); d) \( \sqrt{4(1 - x)^{2}}- 6 = 0\).

Phương pháp:

- Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa: \(\sqrt A \) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0\)

- Bình phương hai vế rồi giải bài toán tìm x.

- Ta sử dụng các cách làm sau:

\(\sqrt A = B\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\)

\(\sqrt A = \sqrt B \left( {A \ge 0;B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = B\)

Lời giải:

1. Điều kiện: \(x \ge 0\)

\(\sqrt {16x} = 8\)\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {16x} } \right)^2} = {8^2}\) \( \Leftrightarrow 16x = 64\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{64}}{{16}} \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(x=4\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l} \sqrt {16x} = 8 \Leftrightarrow \sqrt {16} .\sqrt x = 8\\ \Leftrightarrow 4\sqrt x = 8 \Leftrightarrow \sqrt x = 2\\ \Leftrightarrow x = {2^2} \Leftrightarrow x = 4 \end{array}\)

2. Điều kiện: \(4x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

\(\sqrt {4x} = \sqrt 5 \) \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4x} } \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \Leftrightarrow 4x = 5 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(x=\dfrac{5}{4}\).

3. Điều kiện: \(9\left( {x - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

\(\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} = 21\)\( \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 1} = 21\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 7\) \( \Leftrightarrow x - 1 = 49 \Leftrightarrow x = 50\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(x=50\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l} \sqrt {9\left( {x - 1} \right)} = 21 \Leftrightarrow 9\left( {x - 1} \right) = {21^2}\\ \Leftrightarrow 9\left( {x - 1} \right) = 441 \Leftrightarrow x - 1 = 49\\ \Leftrightarrow x = 50 \end{array}\)

4. Điều kiện: \(x \in R\) (vì \(4.(1-x)^2\ge 0\) với mọi \(x)\)

\(\sqrt {4{{\left( {1 - x} \right)}^2}} - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} = 6\) \( \Leftrightarrow \left| {1 - x} \right| = 3\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x = 3\\1 - x = - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 4\end{array} \right.\)