Với các số thực a và b thỏa mãn a2+b2=2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3(a+b ab)

CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A. Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”. + Bất đẳng thức: [BĐT: Bunhiacopxki]; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . + ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab 0. + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nếu thì min y = a khi f[x] = 0. Nếu thì max y = a khi f[x] = 0. + Phương pháp “tìm miền giá trị” [cách 2 ví dụ 1 dạng 2]. C. CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức: B = [x-1][x+2][x+3][x+6] Giải: a] Min A = 10 khi . b] B = [x-1][x+2][x+3][x+6] = [x-1][x+6][x+2][x+3] = [x2 + 5x – 6][x2 + 5x + 6] = [x2 + 5x]2 – 36 -36 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5. c] = [x2 – 2x + 1] + [y2 – 4y + 4] + 2 = [x – 1]2 + [y – 2]2 + 2 2 Min C = 2 khi x = 1; y = 2. Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức: A = 5 – 8x – x2 B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a] A = 5 – 8x – x2 = -[x2 + 8x + 16] + 21 = -[x + 4]2 + 21 21 Max A = 21 khi x = -4. b] B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -[x2 – 2x + 1] – [4y2 + 4y + 1] + 7 = -[x – 1]2 – [2y + 1]2 + 7 7 Max B = 7 khi x = 1, . Bài toán 3: Tìm GTNN của: Giải: a] Ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi [x – 1][4 – x] 0 hay Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi [x – 2][3 – x] 0 hay Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi . b] Đặt thì t 0 Do đó N = t2 – 3t + 2 = . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Do đó khi Vậy min hay . Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3. Giải: M = x3 + y3 = [x + y][x2 – xy + y2] = x2 - xy + y2 Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2[x2 + y2] – [x – y]2 = 1 => 2[x2 + y2] ≥ 1 Do đó và Ta có: và Do đó và dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: [x2 – y2 + 1]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2. Giải: [x2 – y2 + 1]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 [[x2 + 1] – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2[x2 + 1] + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0 x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2 [x2+y2]2-3[x2+y2]+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0 Vì t = x2 + y2 nên : GTLN của x2 + y2 = GTNN của x2 + y2 = Bài toán 6: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca. Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = [a – ab] + [b - bc] + [c – ca] = a[1 – b] + b[1 – c] + c[1 – a] 0 [vì ] Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0 Vậy GTNN của P = 0 Theo giả thiết ta có: 1 – a 0; 1 – b 0; 1 – c 0; [1-a][1-b][1-c] = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc 0 P = a + b + c – ab – bc – ac Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý Vậy GTLN của P = 1. Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x + y. Giải: Ta có: [x + y]2 + [x – y]2 [x + y]2 2[x2 + y2] [x + y]2 Mà x2 + y2 = 1 [x + y]2 2 - Xét Dấu “=” xảy ra - Xét Dấu “=” xảy ra Vậy x + y đạt GTNN là . Bài toán 8: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx. Giải: Ta có: [x – y]2 + [x – z]2 + [y – z]2 0 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx 0 [x + y + z]2 = x2 + y2 + z2 +2[xy + yz + zx] 3[x2 + y2 + z2] 81 x + y + z 9 [1] Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 [2] Từ [1] và [2] => x + y + z + xy + yz + zx 36. Vậy max P = 36 khi x = y = z = 3. Đặt A = x + y + z và B = x2 + y2 + z2 Vì B 27 -14 P -14 Vậy min P = -14 khi Hay . Bài toán 9: Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = . Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P = [x4 + 1][y4 + 1] đạt GTNN. Tìm GTNN ấy. Giải: Ta có: P = [x4 + 1][y4 + 1] = [x4 + y4] + [xy]4 + 1 Đặt t = xy thì: x2 + y2 = [x + y]2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = [x2 + y2]2 – 2x2y2 = [10 – 2t]2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101 = [t4 – 8t2 + 16] + 10[t2 – 4t + 4] + 45 = [t2 – 4]2 + 10[t – 2]2 + 45 và dấu “=” xảy ra x + y = và xy = 2. Vậy GTNN của P = 45 x + y = và xy = 2. Bài toán 10: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2. Giải: Ta có: x + y = 2 y = 2 – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + [2 – x]2 = x2 + 4 – 4x + x2 = 2x2 – 4x + 4 = 2[ x2 – 2x] + 4 = 2[x – 1]2 + 2 2 Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1. Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của: . Giải: * Cách 1: Ta cần tìm a để là bình phương của nhị thức. Ta phải có: - Với a = -1 ta có: Dấu “=” xảy ra khi x = -2. Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. - Với a = 4 ta có: Dấu “=” xảy ra khi x = . Vậy GTLN của y = 4 khi x = . * Cách 2: Vì x2 + 1 0 nên: [1] y là một giá trị của hàm số [1] có nghiệm - Nếu y = 0 thì [1] - Nếu y 0 thì [1] có nghiệm hoặc Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2. Vậy GTLN của y = 4 khi x = . Bài toán 2: Tìm GTLN và GTNN của: . Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm: [1] Do x2 + x + 1 = x2 + 2..x + Nên [1] ax2 + ax + a = x2 – x + 1 [a – 1]x2 + [a + 1]x + [a – 1] = 0 [2] Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì [2] có nghiệm x = 0. Trường hợp 2: Nếu a 1 thì để [2] có nghiệm, điều kiện cần và đủ là , tức là: Với hoặc a = 3 thì nghiệm của [2] là Với thì x = 1 Với a = 3 thì x = -1 Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có: GTNN của khi và chỉ khi x = 1 GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1 Bài toán 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: . Cho m, n là các số nguyên thỏa . Tìm GTLN của B = mn. Giải: a] Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2 [vì ab = 1] Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b và . Ta có: [a + b] + Mặt khác: Suy ra: Với a = b = 1 thì A = 8 Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. b] Vì nên trong hai số m, n phải có ít nhất một số dương. Nếu có một trong hai số là âm thì B < 0. Vì ta tìm GTLN của B = mn nên ta chỉ xét trường hợp cả hai số m, n cùng dương. Ta có: Vì m, n N* nên n – 3 -2 và 2m – 3 -1. Ta có: 9 =1.9 = 3.3 = 9.1; Do đó xảy ra: + và B = mn = 2.12 = 24 + và B = mn = 3.6 = 18 + và B = mn = 6.4 = 24 Vậy GTLN của B = 24 khi hay Bài toán 4: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Ta có thể viết: Do x > y và xy = 1 nên: Vì x > y x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: Dấu “=” xảy ra [Do x – y > 0] Từ đó: Vậy GTNN của A là 3 hay Thỏa điều kiện xy = 1 Bài toán 5: Tìm GTLN của hàm số: . Giải: Ta có thể viết: Vì . Do đó ta có: . Dấu “=” xảy ra . Vậy: GTLN của tại Bài toán 6: Cho t > 0. Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Ta có thể viết: Vì t > 0 nên ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy f[t] đạt GTNN là 1 tại . Bài toán 7: Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Ta có thể viết: g[t] đạt GTNN khi biểu thức đạt GTLN. Nghĩa là t2 + 1 đạt GTNN Ta có: t2 + 1 1 min [t2 + 1] = 1 tại t = 0 min g[t] = 1 – 2 = -1 Vậy GTNN của g[x] là -1 tại t = 0. Bài toán 8: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: . Giải: Đặt Do đó: Tương tự: y + z = a[b + c] z + x = b[c + a] Ta có: [1] Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z Khi đó, Nhân hai vế [1] với a + b + c > 0. Ta có: GTNN của E là khi a = b = c = 1. Bài toán 9: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1 [*]. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: . Giải: Từ a[2x+y+z] = 2x+3y 2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0 2[a – 1]x + [a – 3]y = -2a [1] Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số [2x; y] và [a – 1; a – 3] Ta có: 4a2 = [2x[a-1]+y[a-3]]2 ≤ [4x2+y2].[[a-1]2+[a-3]2] => [vì 4x2+y2 = 1] Do đó ta có: [Vì a + 5 > a – 1] * Thay a = 1 vào [1] ta được: -2y = -2 y = 1 Thay y = 1 vào [*] ta có: x = 0 [x; y] = [0;1] * Thay a = -5 vào [1] ta được: 2[-5 – 1]x + [-5 – 3]y = -2[-5] Thay vào [*] ta được: Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1. GTNN của a là -5 khi . Bài toán 10: Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = 1. Hãy tìm gái trị nhỏ nhất cảu biểu thức: M = Giải: Ta có: M = = = 4 + x2 + y2 + Vì x, y > 0 nên ta có thể viết: Mà x + y = 1 nên 1 [1] Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Ngoài ra ta cũng có: [vì x + y = 1] [2] Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Từ [1] và [2] cho ta: Do đó: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời ở [1] và [2] cùng xảy ra dấu “=” nghĩa là khi Vậy GTNN của khi và chỉ khi . * Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO CÓ CHỨA CĂN THỨC. Bài toán 1: Tìm GTLN của hàm số: . Giải: * Cách 1: Điều kiện: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: [ac + bd]2 [a2 + b2][c2 + d2] Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Chọn với Ta có: Vì y > 0 nên ta có: Dấu “=” xảy ra [Thỏa mãn [*]] Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3. * Cách 2: Ta có: Điều kiện: Vì y > 0 nên y đạt GTLN khi và chỉ khi y2 đạt GTLN. Ta có: Do nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm cho ta: Do đó Dấu “=” xảy ra [thỏa mãn điều kiện]. Vậy GTLN của hàm số y là 2 tại x = 3. Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: . Giải: GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số: [3; 4] và [ ta có: => y Dấu “=” xảy ra x = [thỏa mãn điều kiện] Vậy GTLN của y là10 khi x = * b] Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = = Đặt: A = thì t2 = 4 + 2 4 => A và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5 Vậy y 3 . 2 + 0 = 6 Dấu “=” xảy ra khi x = 5 Do đó GTNN của y là 6 khi x = 5 Bài toán 3: GTNN của y là 6 khi x = 5 Tìm GTNN của biểu thức: M = Giải: M = = Áp dụng bất đẳng thức: ta có: M = => M Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi [x – 1994] . [1995 – x] 0 1994 Vậy GTNN của M = 1 ó 1994 Bài toán 4: Tìm GTNN của B = 3a + 4 với -1 Giải: B = 3a + 4 Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta => B => Do đó B và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. a = Vậy GTNN của B = 5 a = Bài toán 5: Tìm GTNN của biểu thức: A = Giải: Điều kiện: -[x-1]2 + 8 Với điều kiện này ta viết: => 2 + Do đó: Vậy A và dấu “=” xảy ra x -1 = 0 x = 1 [thỏa mãn điều kiện] Vậy GTNN của A = Bài toán 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = Giải: Điều kiện: 1 – x2 > 0 x2 - 1 < x < 1 => A > 0 => GTNN của A ó A2 đạt GTNN. Ta có: A2 = Vậy GTNN của A = 4 khi Bài toán 7: Cho x > 0 ; y = 0 thỏa mãn x + y Tìm GTNN của biểu thức: A = Giải: Điều kiện: 1 – x2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 và 1 – x2 Ta có: x2 + 1 – x2 1 Vậy GTLN của A = khi x = hay x = Bài toán 8: Tìm GTLN của biểu thức: y = Giải: Biểu thức có nghĩa khi 1996 Vì y với mọi x thỏa mãn điều kiện 1996 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do đó y2 Vậy GTLN của y là 2 khi x = 1997 Bài toán 9: Cho . Tìm GTLN của biểu thức y = x + Giải: Ta có: = x + 2 Vì 0 nên 1 – x Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số: và [1 – x] cho ta: Dấu “=” xảy ra Vậy GTLN của y là tại x = Bài toán 10: Cho M = Tìm TGNN của M Giải: M = = = Điều kiện để M xác định là a – 1 Ta có: Đặt x = điều kiện x Do đó: M = Ta xét ba trường hợp sau: 1] Khi x thì Và => M = 2 – x + 4 – x = 6 – 2x Vậy x < 2 thì M 2] Khi x thì và x-4=x-4 => M = Vậy x > 4 thì M 3] Khi 2 < x < 4 thì và => M = x – 2 + 4 – x = 2 [không phụ thuộc vào x] Trong trường hợp này thì: 2 4 5 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN của M = 2 tương ứng với: D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: A = [2x – 3]2 – 7 với x hoặc x . Gợi ý: - Xét 2 trường hợp: x ≥ 3 và x ≤ -1 - Kết luận: Min A = 2 x = 3 Chú ý: Mặc dù A = [2x – 3]2 – 7 . Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = nhưng giá trị không thỏa mãn x , không thỏa mãn x . Do đó không thể kết luận được GTNN của A bằng – 7. Bài 2: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – [2m – 1] x + [m – 2] = 0 Tìm các giá trị của m để có giá trị nhỏ nhất Gợi ý: = 4[m - 1 ]2 + 5 > 0. Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m theo hệ thức Vi-ét, ta có: = => Min [ với m = Bài toán 3: Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y và thế vào E Bài toán 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A = x2 + y2 Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4 Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 4 2x2 + 2y2 – 2xy = 8 A + [x – y]2 = 8 Max A = 8 khi x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = 8 + 2xy 3A = 8 + [x + y]2 => A min A = khi x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: M = x + 2y. Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki [x +2y]2 [12 + 12] = 50 Vậy Max M = khi x = Min M = -5 khi x = - ; y = - Bài tóan 6: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = 1. Tìm GTLN của biểu thức: A = Gợi ý: Từ [x2 – y]2 => Tương tự: => A => Max A = 1 khi Bài tóan 7: Tìm GTNN của biểu thức: A = Gợi ý: B = Min B = 2 khi - 1 Bài toán 8: Tìm GTNN của biểu thức: B = [x – a ]2 + [x – b]2 + [x – c]2 với a, b, c cho trước. Gợi ý: Biểu diễn B = => GTNN của B = [a2 + b2 + c2] - Bài toán 9: Tìm GTNN của biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = [x – 6 – y]2 + 5[y – 1]2 + 4 Vậy Min P = 4 khi y = 1 ; x = 7 Bài toán 10: Tìm GTLN của biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3 Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – [x – y – 1]2 – 3 [y – 2]2 => GTLN của E = 10 ó y = 2 ; x = 3 Bài toán 11: Tìm GTLN của biểu thức: P = Biết x, y, z là các biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 khi Bài toán 12: Tìm GTNN của biểu thức sau: Với x A = Với mọi x B = Với mọi x C = Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: A = [x + 2] + b] B = [vì c] C = Min C = - 1 khi x = 0 Bài toán 13: Tìm GTNN của biểu thức A = Gợi ý: A = = Vậy Min A = Khi x = 2000 Bài toán 14: Tìm GTNN của biểu thức: P = Gợi ý: Biểu diễn P = 4 [áp dụng BĐT Côsi] => Min P = 64 khi x = 1 hoặc x = -3 Bài toán 15: Tìm GTNN của A = với x > 0 B = với x > 1 C = D = với x > 0 E = với 0 < x < 1 F = với x > 1 Gợi ý: A = x+ [vì x > 0] => Min A = 8 khi x = 2 B = [vì x > 1] => Min B = 4 x = 2 C = D = [1 + x] [vì x > 0] E = F = = => Min F = khi x = 3. Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = Gợi ý: P = 9 - P = 9 - Bài 17: Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 Tìm GTNN của biểu thức S = Gợi ý: S = = S có GTNN x[10-x] có GTLN x = 5. => GTNN của S = khi x = y = 5. Bài 18: Tìm GTNN của biểu thức: E = Gợi ý: Ta có E > 0 với mọi x Xét E2 = 2 [x2 + 1 + => Min E = 2 khi x = 0 Bài 19: Cho a và b là hai số thỏa mãn: a ; a + b Tìm GTNN của biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b [vì a => 132 => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0 Tìm m để cho đạt GTNN. Gợi ý: phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Theo định lý vi-ét ta có: Do đó m GTNN của là 2 khi m = Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của: y = Gợi ý: y = + + Ta có: nhỏ nhất bằng 1997 khi x nhỏ nhất bằng 1995 khi x nhỏ nhất bằng 1 khi x Vậy y đạt GTNN bằng 1 + 3 + + 1997 Số các số hạng của 1 + 3 + + 1997 là [1997 – 1] : 2 + 1 = 999 Vậy Min y = 9992 khi 999 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t là các số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t. Biết rằng: [2] [1] Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 => 2M = 122 + t2 Do đó 2M Vậy Min M = 61 khi t = 0 Từ [1] => x > y Do đó: [x + y ][x – y] = 21.1 = 7.3 Từ [2] => 3y2 Ta chọn x = 5 ; y = 2 => z = 4 Vậy Min M = 61 tại x = 5 ; y = 2 ; z = 4; t = 0 Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – [a – 1]2 = 0 [1] Tìm giá trị của a để nghiệm của phương trình đó: a] Đạt GTNN. b] Đạt gía trị lớn nhất. Gợi ý: Gọi m là nghiệm của phương trình [1] thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + 1 = 0 [2] Viết [2] dưới dạng phương trình bậc hai ẩn a. a2 + 2 [m + 1] a + [m4 + 2m2 + 1] = 0 Để tồn tại a thì Giải điều kiện này được m4 - m2 m[m – 1] Vậy nghịêm của phương trình đạt GTNN là 0 với a = -1 Vậy nghịêm của phương trình đạt GTLN là 1 với a = -2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN của t = Gợi ý: Vì x2 + 1 > 0 với mọi x Đặt a = => [a – 1] x2 – 2 x +a – 2 = 0 [1] a là một giá trị của hàm số [1] có nghiệm. - Nếu a = 1 thì [1] x = - Nếu a 1 thì [1] có nghiệm Min A = với x = với x = Bài 25: Tìm GTNN, GTLN của A = Gợi ý: Viết A dưới dạng sau với y [ [đặt ] Giải tương tự bài 24 được: Còn với y = 0 thì A = 1 Do đó: Min A = với x = y ; max A = 3 với x = - y Bài 26: Cho a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: Với Q dưới dạng Q = [a + b] = 1 – 2ab = 1 – 2a [1 – a] => Q = 2a2 – 2a + 1 Do đó: Min Q = khi a = b =