Trường hữu hạn là gì
Lý thuyết nhóm Show Bài viết này sẽ giới thiệu kiến thức cơ bản về các khái niệm như nhóm, vành, trường, trường hữu hạn. Nhóm là một tập hợp G và một phép toán 2 ngôi \(\bullet\), \((G, \bullet)\) phải thỏa các tính chất sau:
Ví dụ:
Nhóm con (Subgroup)Cho nhóm G với phép toán \(\bullet\), tập con H của G được gọi là nhóm con nếu H và \(\bullet\) cũng tạo thành một nhóm. Khi H là nhóm con của G, ta kí hiệu \(H \leq G\). Ví dụ, xét nhóm \((\mathbb{Z}, +)\), khi đó ta có một nhóm con là tập hợp các số chẵn, tuy nhiên tập hợp các số lẻ không phải là nhóm con của \((\mathbb{Z}, +)\), do không thỏa tính đóng (tổng 2 số lẻ là một số chẵn). Khi H là nhóm con của G, ta có tính chất sau: Phần tử đơn vị của G cũng chính là phần tử đơn vị của H. Cyclic group và phần tử sinhXét nhóm G với phép toán \(\bullet\). Ta kí hiệu phép lũy thừa với ý nghĩa như sau:
Khi đó, G là một cyclic group nếu tồn tại \(g \in G\) sao cho, với mỗi \(a \in G\), \(a = g^k\) với một số nguyên k nào đó. G sẽ có dạng: \[\dots, g^{-3}, g^{-2}, g^{-1}, g^0 (= e), g^1, g^2, g^3, \dots\]\(g\) sẽ được gọi là phần tử sinh của nhóm. Ví dụ, \((\mathbb{Z}, +)\) là một cyclic group với phần tử sinh là 1. Nhóm hữu hạn, bậc (order) của nhóm và bậc của phần tửNhóm hữu hạn là một nhóm có số phần tử hữu hạn. Một loại nhóm hữu hạn mà ta thường gặp là nhóm số nguyên đồng dư \(\mathbb{Z_n}\), xem thêm Toán đồng dư. Xét một nhóm hữu hạn G,
Ký hiệu \(\langle a \rangle\) là nhóm con sinh bởi \(a \in G\), \(\langle a \rangle = \{a^k \vert k \in \mathbb{Z}\}\). Ta có tính chất sau: \(\lvert \langle a \rangle \rvert = \lvert a \rvert\), phát biểu bằng lời: Bậc của nhóm con sinh bởi a bằng bậc của a Định lý LagrangePhát biểu định lý Lagrange: Nếu H là nhóm con của G thì \(\vert H \vert\) là ước của \(\vert G\vert\). Một số hệ quả:
Xét tập hợp R với 2 phép toán + và \(\cdot\), R được gọi là một vành nếu ta có các tính chất sau:
Lưu ý là phép nhân không cần có tính giao hoán và không cần phải có phần tử nghịch đảo. Ví dụ: Tập hợp các ma trận vuông 2x2 trên tập số thực là một vành. Tổng quát hơn, nếu R là một vành thì tập hợp các ma trận nxn với mỗi phần tử ma trận \(\in R\), kí hiệu \(M_n(R)\), cũng là một vành. Xét tập hợp F với 2 phép toán + và \(\cdot\). F được gọi là một trường nếu nó thỏa các tính chất sau:
Trường hữu hạn là một trường có số phần tử là hữu hạn. Một trường hữu hạn thường gặp là \(\mathbb{Z}_p\) với p nguyên tố. Bài viết chi tiết về trường và trường hữu hạn sẽ được thêm vào trong tương lai. |