Tìm x nguyên để p nhận giá trị nguyên

07:34:3709/04/2022

Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nguyên là một trong nhưng dạng toán lớp 9 xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là dạng toán đòi hỏi sự biến đổi linh hoạt và vận dụng cao năm vững kiến thức về ước và bội của số nguyên ở các lớp trước.

Bài viết này các em hãy cùng hayhochoi tìm hiểu cách giải bài toán tìm giá trị của x để biểu thức nguyên, vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để nắm vững cách giải nhé.

A. Phương pháp tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

Để tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng: 

 trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

+ Bước 2: Để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì 

 phải có giá trị nguyên hay  tức là g(x) thuộc tập ước của k.

+ Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

+ Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

B. Ví dụ minh họa tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

* Ví dụ 1: Tìm giá trị của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

* Lời giải:

- Điều kiện A xác định là căn bậc 2 có nghĩa: x ≥ 0.

Ta có:  

Để A nhận giá trị nguyên thì 

 nguyên (tức )

- TH1: 

 (loại)

- TH2: 

 (thỏa)

Vậy với x = 0 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

 

* Lời giải:

Các em chú ý điều kiện để P xác định là căn bậc 2 không âm và mẫu thức khác không.

Điều kiện xác định: 

Ta có: 

Biểu thức P nhận giá trị nguyên khi 

 có giá trị nguyên:

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc 

 là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc  là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để 

 là số nguyên thì  phải là số nguyên (không thể là số vô tỉ)

⇒ 

 là ước tự nhiên của 5

Ta có các trường hợp như sau:

- TH1: 

 (thỏa)

- TH2: 

 (thỏa)

- TH3: 

 (thỏa)

- TH4: 

 (loại)

Vậy để biểu thức P đạt giá trị nguyên thì x ∈ {4; 16; 64}

* Ví dụ 3: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

* Lời giải:

- Điều kiện xác định (mẫu thức khác 0): x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1.

Ta có: 

 

Vậy để B nhận giá trị nguyên thì

⇔ x + 1 ∈ Ư(2) = {-1; 1; -2;2}

- TH1: x + 1 = -1 ⇒ x = -2

- TH2: x + 1 = 1 ⇒ x = 0

- TH3: x + 1 = -2 ⇒ x = -3

- TH4: x + 1 = 2 ⇒ x = 1

Vậy B nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; -2; 0; 1}.

* Ví dụ 4: Tìm giá trị nguyên của x để P = (x+3)/(x - 2) nhận giá trị nguyên

* Lời giải:

- Ta có: 

Để P nhận giá trị nguyên thì 

 nhận giá trị nguyên

Nên (x - 2) ∈ Ư(5) = {-1; 1; -5; 5}

- TH1: x - 2 = -1 ⇒ x = 1

- TH2: x - 2 = 1 ⇒ x = 3

- TH3: x - 2 = -5 ⇒ x = -3

- TH4: x - 2 = 5 ⇒ x = 7

Vậy P = (x+3)/(x - 2) nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; 1; 3 ; 7}

* Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên:

 

* Lời giải:

- Ta có: 

 

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì 

 nhận giá trị nguyên

Nên (x - 3) là ước của 8: (x - 3) ∈ U(8) = {-1; 1; -2; 2; -4; 4; -8; 8}

- TH1: x - 3 = -1 ⇒ x = 2

- TH2: x - 3 = 1 ⇒ x = 4

- TH3: x - 3 = -2 ⇒ x = 1

- TH4: x - 3 = 2 ⇒ x = 5

- TH5: x - 3 = -4 ⇒ x = -1

- TH6: x - 3 = 4 ⇒ x = 7

- TH7: x - 3 = -8 ⇒ x = -5

- TH8: x - 3 = 8 ⇒ x = 11

Vậy A nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11}

* Ví dụ 6: Tìm giá trị của x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên

 

* Lời giải:

- Điều kiện x ≥ 0.

- Trường hợp x = 0 thay vào Q ta được: Q = 0

- Trường hợp x > 0, ta chia tử thức và mẫu thức cho 

Ta được: 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với:

 

 (nghịch đảo 2 vế, bất đẳng thức đổi chiều)

hay 0 < Q ≤ 2.

Vậy Q nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.

- Với Q = 1, ta có: 

 

 (*)

Đặt 

 phương trình (*) trở thành

 t2 - 3t + 1 = 0

Giải phương trình bậc 2 này ta được: 

- Với Q = 2, ta có: 

Vậy Q nhận giá trị nguyên khi 

C. Bài tập tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên

* Bài tập 1: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

b)

* Bài tập 2: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

Hy vọng với bài viết Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.