Your browser isn’t supported anymore. Update it to get the best YouTube experience and our latest features. Learn more
1. Phương sai là gì?
Phương sai là phép đo độ dao động của các giá trị trong mẫu dữ liệu so với giá trị trung bình của mẫu [mean], được sử dụng như một cách phổ biến để đo lường rủi ro của nhiều vấn đề từ tài chính đến khoa học. Bởi vì trong khái niệm từ xưa của xã hội, mức độ biến động của một giá trị càng lớn đồng nghĩa với rủi ro càng cao. Ví dụ: lãi suất biến động càng lớn thì nền kinh tế đó càng bất ổn, nhiệt độ tại một khu vực dao động càng lớn thì môi trường đó càng trở nên khắc nghiệt để sinh sống, một chủng virus có càng nhiều biến thể so với chủng gốc thì càng trở nên nguy hiểm,...
Đồng thời, phương sai cũng được sử dụng để lường trước những rủi ro đó để “đi trước một bước” và có sự chuẩn bị, tính toán khi đối diện với vấn đề ví dụ như biết trước được sự biến động của lãi suất để mua các công cụ đề phòng rủi ro, chuẩn bị trước các công cụ sinh tồn cần thiết để đối diện với thời tiết khắc nghiệt, hay tính toán trước các biến thể của virus để thiết kế vắc xin hiệu quả hơn.
Kí hiệu của phương sai:
Công thức tính phương sai:
Trong đó:
χi là giá trị của một dữ liệu trong tập dữ liệu
µ là giá trị trung bình của tập dữ liệu
N là số lượng mẫu dữ liệu trong tập dữ liệu
Ví dụ cho công thức:
- Một nhà đầu tư vào cổ phiếu , lợi nhuận tháng thứ nhất là 10%, tháng thứ hai là 15% nhưng tháng thứ ba lên đến 20%. Lợi nhuận trung bình sẽ là 15 %.
- Độ lệch của lợi nhuận tháng thứ nhất so với mức lợi nhuận trung bình = 10 % - 15% = -5%, do đó dao động trong tháng thứ nhất =
- Tháng thứ hai: Độ lệch của lợi nhuận = 15 % - 15% = 0%, dao động =
- Tháng thứ ba: Độc lệch của lợi nhuận = 20 % - 15% = 5%, dao động=
- Phương sai của lợi nhuận của cổ phiếu lúc này sẽ là [25%+0%+25%]/3 = 16,7%
2. Ứng dụng của phương sai
Trong tài chính, phương sai là một phương pháp để nhà đầu tư xác định rủi ro, vì nếu giá trị của một tài sản có biến động quá lớn so với mức trung bình giá trị tài sản trong một thời gian ngắn thì việc đầu tư vào tài sản đó sẽ chứa đựng nhiều rủi ro [rủi ro thua lỗ lớn và khó dự đoán trước xu hướng].
Cũng như vậy, nếu một đất nước có mức tăng trưởng cao nhưng biến động mạnh so với mức tăng trưởng trung bình [phương sai lớn] thì có nghĩa là nền kinh tế đó rất mỏng manh và tăng trưởng kinh tế khó duy trì bền vững, cho nên sẽ thu hút được ít vốn đầu tư hơn một đất nước có mức tăng trưởng thấp nhưng phương sai nhỏ hơn.
3. Ưu điểm và nhược điểm của phương sai
Phương sai xem tất cả các sai lệch so với giá trị trung bình giống nhau bất kể là số âm hay dương, vì vậy rất tiện để áp dụng tính toán dao động cho một chuỗi biến động ngược chiều nhau. Phương sai cũng là một cách tính thông minh trong toán học, giúp lượng hóa những “rủi ro” dưới dạng số liệu và phòng tránh được nhiều tình huống xảy ra.
Các dữ liệu ngoại lai [outlier] có giá trị lớn hơn hẳn cho với các giá trị còn lại có thể sẽ làm sai lệch tập dữ liệu. Chẳng hạn như một nhà đầu tư vào một cổ phiếu , lợi nhuận tháng nhất là 10%, tháng thứ hai là 15% nhưng tháng thứ ba lên đến 80%. Lợi nhuận trung bình sẽ là 35 % và phương sai lúc này sẽ là 1016%, con số này khác xa so với các giá trị trong tập dữ liệu. Để khắc phục tình trạng này, công thức tính độ lệch chuẩn [standard deviation] được giới thiệu = Căn bậc hai của phương sai =
Phương sai và độ lệch chuẩn là những kiến thức toán học đại số khá quan trọng và thú vị, được ứng dụng nhiều trong công việc thống kê các con số. Vậy Phương sai và độ lệch chuẩn là gì? Tính toán phương sai và độ lệch chuẩn như thế nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu và tổng hợp kiến thức nhé!
==>>> Công thức tính phương sai cách dễ hiểu nhất.
Phương sai của một bảng số liệu là số đặc trưng cho độ phân tán của các số liệu trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Bộ số liệu có giá trị phương sai nhỏ là bộ số liệu có các giá trị gần với giá trị trung bình.
Phương sai của bảng thống kê dấu hiệu x, kí hiệu là [s_{{x}^{2}}]. Công thức tính phương sai như sau:
- Đối với bảng phân bố rời rạc
[n_{1}+n_{2}+…+n_{n}=n]
[S_{x}^{2}=frac{1}{n}[n_{1}[x_{1}-bar{x}]^{2}+n_{2}[[x_{2}-bar{x}]^{2}+…+n_{k}[[x_{k}-bar{x}]^{2}]]
=[frac{1}{n}[n_{1}x_{1}^{2}+n_{2}x_{2}^{2}+…+n_{k}x_{1}^{2}]-[bar{x}]^{2}]
Với [bar{x}] là số trung bình của bảng số liệu.
n là số các số liệu thống kê
- Đối với phân bố tần số ghép lớp
[S_{x}^{2}=frac{1}{n}[n_{1}[C_{1}-bar{x}]^{2}+n_{2}[[C_{2}-bar{x}]^{2}+…+n_{k}[[C_{k}-bar{x}]^{2}]]
Với [C_{i}[i=1,2,…,k]] là giá trị trung tâm của lớp thứ i
[bar{x}] là số trung bình của bảng số liệu.
Nhận xét:
Có thể viết gọn các công thức về phương sai nhờ ký hiệu [sum] như dưới đây:
[S_{x}^{2}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{k}n_{i}[x_{i}-bar{x}]^{2}=sum_{i=1}^{n}f_{i}[x_{i}-bar{x}]^{2}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{k}n_{i}x_{i}^{2}-[bar{x}]^{2}=sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}^{2}-[bar{x}]^{2}]
Là giá trị chênh lệch trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình đã tính ra .
Căn bậc hai của phương sai một bảng số liệu được gọi là độ lệch chuẩn của bảng số liệu đó.
Độ lệch chuẩn của dấu hiệu x, ký hiệu: [S_{x}]
- Nếu độ lệch chuẩn bằng 0, suy ra phương sai bằng 0, suy ra các giá trị quan sát cũng chính là giá trị trung bình. Nói cách khác là không có sự biến thiên.
- Nếu độ lệch chuẩn càng lớn, suy ra sự biến thiên xung quanh giá trị trung bình càng lớn.
Phương sai cùng độ lệch chuẩn đều dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê [so với giá trị trung bình]. Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo, ta dùng độ lệch chuẩn vì độ lệch chuẩn cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.
Công thức tính:
[S_{x}=sqrt{S_{x}^{2}}]
Để tính độ lệch chuẩn ta cần xác định giá trị sau:
– Giá trị trung bình
– Phương sai của tập số liệu.
Suy ra
Các bước tính độ lệch chuẩn:
Bước 1: Tính giá trị trung bình của bộ số liệu:
Giá trị trung bình bằng trung bình cộng các giá trị của tất cả bộ số liệu hay chính bằng tổng các giá trị trong bộ số liệu chia cho tổng số các giá trị có trong bộ số liệu.
Bước 2: Tính phương sai của bộ số liệu:
Phương sai là giá trị đặc trưng cho độ phân tán [biến thiên] của các số liệu trong bộ số liệu so với giá trị trung bình của bộ số liệu.
[S^{2}=frac{sum_{i}^{n}[X_{i}-bar{X}]^{2}}{n-1}]
Trong đó:
n là số phần tử của tập số liệu
[bar{X}] là giá trị trung bình của bộ số liệu
[x_{i}] là các giá trị của bộ số liệu.
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn
Sử dụng công thức Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của giá trị phương sai để tính được ở bước 2
Để giải quyết các bài toán về phương sai cũng như độ lệch chuẩn một cách dễ dàng và hiệu quả hơn, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ tính toán:
Độ lệch chuẩn có ứng dụng khá hay đó là giúp chuẩn hóa giá trị của hai dãy số khác nhau về cùng một miền dữ liệu.
Ngoài ra, phương sai cùng độ lệch chuẩn còn được áp dụng nhiều trong giải quyết các công việc thực tế như: phương sai cùng độ lệch chuẩn trong xác suất thống kê, phương sai hay độ lệch chuẩn trong thống kê, phương sai cùng độ lệch chuẩn trong tài chính…
Trên đây là tổng hợp kiến thức về chuyên đề phương sai với độ lệch chuẩn, hy vọng hữu ích với bạn trong quá trình tìm tòi và học tập của bản thân. Nếu có bất cứ thắc mắc hay đóng góp gì cho bài viết phương sai và độ lệch chuẩn, mời bạn để lại ở nhận xét bên dưới. Chúc bạn luôn học tập tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:
[Nguồn: mobitool.net]
Xem thêm:
- Mệnh đề là gì? Các loại mệnh đề quan trọng cần ghi nhớ
- Các phép toán trên tập hợp: Lý thuyết, Ví dụ và Bài tập
- Hàm số bậc nhất là gì? Công thức, Ví dụ và Bài tập hàm số bậc nhất
- Số gần đúng và sai số lớp 10 – Lý thuyết và Các dạng bài tập cơ bản
- Đồ thị của hàm số y=ax+b và tổng hợp các dạng đồ thị hàm số liên quan