Hàm số đồng biến, nghịch biến là kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 10. Kiến thức, bài tập này sẽ theo suốt các bạn trọng quá trình học Toán phổ thông. Vậy hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào?
Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến.
Để một HS đồng biến hay nghịch biến, ta cần điều kiện cần và đủ. Với hàm số y = f[x]:
|
y = f[x] |
Đồng biến |
Nghịch biến |
|
Điều kiện cần |
Với điểm [a,b] mà f[x] lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc [a,b] |
Với khoảng giá trị [a,b] mà f[x] nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc [a,b] |
|
Điều kiện đủ |
f[x] = 0 chỉ xảy ra tại một điểm hữu hạn thuộc điểm [a,b] |
f[x] = 0 chỉ xảy ra tại một điểm hữu hạn thuộc điểm [a,b] |
Ngoài những điều kiện cơ bản trên, trong hàm số còn có một vài điều kiện bổ trợ để HS đồng biến hay nghịch biến. Để hiểu rõ những kiến thức này hơn. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới với những bài tập áp dụng
Các dạng bài toán và bài tập ví dụ.
Có hai dạng bài tập về HS đồng biến và HS nghịch biến:
- Dang 1: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên tập xác định
- Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn.
Sau đây tôi sẽ lấy ví dụ để các bạn hiểu hơn về dạng bài toán:
Cho hàm số y = x3 + 3x2 – mx – 4. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên khoảng [ [ -∞; 0]
Lời giải.
Ta có y’ = 3x2 + 6x – m.
HS đồng biến trên khoảng [ -∞; 0]
y’ ≥ 0 với mọi x ∈ [ -∞; 0]
3x2 + 6x – m ≥ 0 với mọi x ∈ [ -∞; 0].
3x2 + 6x ≥ m với mọi x ∈ [ -∞; 0].
Ta có f’[x] = 3x2 + 6x >0 => f’[x] >0 với mọi x ∈ [ -∞; 0].
=> f[x] đồng biến trên [ -∞; 0] nên f[x] > f[0] = -4
Vậy m ≤ -4.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Sưu tầm: Thu Hoài
a] Hàm số là đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao?. Câu 8 trang 62 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1 – Bài 2. Hàm số bậc nhất
Cho hàm số \[y = \left[ {m + 1} \right]x + 5\].
a] Hàm số là đồng biến hay nghịch biến trên R ? vì sao?
b] Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau:
0; 1; \[\sqrt 2 \]; \[3 + \sqrt 2 \]; \[3 – \sqrt 2 \].
c] Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau:
0; 1; 8; \[2 + \sqrt 2 \]; \[2 – \sqrt 2 \].
Hàm số \[y = \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x + 1\] có hệ số \[a = 3 – \sqrt 2 \], hệ số \[b = 1\] .
a] Ta có: nên hàm số đồng biến trên R
b] Các giá trị của y được thể hiện trong bảng sau:
|
x |
0 |
1 |
\[\sqrt 2 \] | \[3 + \sqrt 2 \] | \[3 – \sqrt 2 \] |
| \[y = \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x + 1\] |
1 Quảng cáo |
\[4 – \sqrt 2 \] | \[3\sqrt 2 – 1\] |
8 |
\[12 – 6\sqrt 2 \] |
c] Các giá trị tương ứng của x:
Với y = 0
\[\eqalign{ & y = 0 \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x = – 1 \cr & \Leftrightarrow x = {{ – 1} \over {3 – \sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow x = {{ – 1\left[ {3 + \sqrt 2 } \right]} \over {\left[ {3 – \sqrt 2 } \right]\left[ {3 + \sqrt 2 } \right]}} \cr
& \Leftrightarrow x = {{ – \left[ {3 + \sqrt 2 } \right]} \over 7} \cr} \]
Với y = 1
\[\eqalign{ & y = 1 \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x + 1 = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \cr} \]
Với y = 8
\[\eqalign{ & y = 8 \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x + 1 = 8 \cr & \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x = 7 \cr & \Leftrightarrow x = {7 \over {3 – \sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow x = {{7\left[ {3 + \sqrt 2 } \right]} \over {\left[ {3 – \sqrt 2 } \right]\left[ {3 + \sqrt 2 } \right]}} \cr
& \Leftrightarrow x = {{7\left[ {3 + \sqrt 2 } \right]} \over 7} = 3 + \sqrt 2 \cr} \]
Với \[y = 2 + \sqrt 2 \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x + 1 = 2 + \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x = 1 + \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow x = {{1 + \sqrt 2 } \over {3 – \sqrt 2 }} = {{\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]\left[ {3 + \sqrt 2 } \right]} \over {\left[ {3 – \sqrt 2 } \right]\left[ {3 + \sqrt 2 } \right]}} \cr
& = {{3 + \sqrt 2 + 3\sqrt 2 + 2} \over {9 – 2}} = {{5 + 4\sqrt 2 } \over 7} \cr} \]
Với \[y = 2 – \sqrt 2 \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x + 1 = 2 – \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow \left[ {3 – \sqrt 2 } \right]x = 1 – \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow x = {{1 – \sqrt 2 } \over {3 – \sqrt 2 }} = {{\left[ {1 – \sqrt 2 } \right]\left[ {3 + \sqrt 2 } \right]} \over {\left[ {3 – \sqrt 2 } \right]\left[ {3 + \sqrt 2 } \right]}} \cr
& = {{3 + \sqrt 2 – 3\sqrt 2 – 2} \over {9 – 2}} = {{1 – 2\sqrt 2 } \over 7} \cr} \]
Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên \[R\]? Vì sao?
A.
B.
C.
D.
Không đồng biến, không nghịch biến trên \[R\]
Hàm số đồng nghịch biến là kiến thức trọng yếu của chương trình toán phổ thông. Vậy Hàm số nghịch biến khi nào? Định nghĩa và điều kiện của hàm số nghịch biến là gì? GiaiNgo sẽ giúp bạn giải đáp thắc mắc qua bài viết này.
Dạng toán hàm số nghịch biến thường xuất hiện nhiều trong các đề thi THPTQG và trong các đề thi thử của các trường trên toàn quốc. Nhiều bạn vẫn thắc mắc Hàm số nghịch biến khi nào? Điều kiện của nó là gì? Bài viết này của GiaiNgo sẽ giải đáp và giúp các bạn ôn tập tốt dạng toán này!
Định nghĩa hàm số nghịch biến
Hàm số nghịch biến, đồng biến hay còn gọi là hàm số đơn điệu.
Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y = f[x] là một hàm số xác định trên K.
Hàm số y = f[x] được gọi là nghịch biến [giảm] trên K, nếu:
- ∀ x1, x2 ∊ K mà x1 < x2 thì f [x1] > f [x2]
- Biểu diễn đồ thị hàm số là một đường đi xuống.
Hàm số nghịch biến khi nào?
Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi:
Điều kiện đủ để hàm số nghịch biến
Cho hàm số f có đạo hàm trên K.
Nếu f'[x] < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch biến trên K.
Định lí mở rộng
Chỉ xét K là một khoảng
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
Nếu f'[x] ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'[x] = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f nghịch biến trên K.
Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số
- Tìm tập xác định
- Tính đạo hàm f'[x]. Tìm các điểm xi [i= 1 , 2 ,…, n] mà tại đó f'[x] bằng 0 hoặc không xác định.
- Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài tập mẫu
Dạng toán xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng [-∞;2] và [4;+∞], nghịch biến trên khoảng [2;4].
Dạng toán tìm m để hàm số nghịch biến
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số:
Qua những kiến thức trên mà GiaiNgo chia sẻ, hy vọng bạn đọc sẽ nắm vững kiến thức về hàm số nghịch biến khi nào và ôn tập thật tốt. Chúc các bạn thành công!