Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến mỗi giây của chúng bằng nhau là đúng hay sai
Lý thuyết liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dâyQuảng cáo
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Show
Định lý 1: Trong một đường tròn: a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Định lý 2.Trong hai dây của một đường tròn: a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. Xét đường tròn (O): \(\begin{array}{l}OH \bot AB\left( {H \in AB} \right)\\OK \bot CD\left( {K \in CD} \right)\end{array}\) Khi đó: \(\begin{array}{l}AB = CD \Leftrightarrow OH = OK\\AB > CD \Leftrightarrow OH < OK\end{array}\) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP So sánh hai đoạn thẳng Phương pháp: Ta thường sử dụng các kiến thức sau: - Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. - Trong hai dây của một đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn, - Chứng minh hai tam giác bằng nhau, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Bài tiếp theo
Quảng cáo
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay
Báo lỗi - Góp ý
|
Lý thuyết: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Xem
- Lịch sử chỉnh sửa
- Bản đồ
- Files
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Mục lục
1. Định lí 1 [edit]
2. Định lí 2 [edit]
Định lí 1 [edit]
Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b)Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Cho đường tròn \((O) \) có hai dây \(AB\) và \(CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Chứng minh:
a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\)
b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\)
Chứng minh:
Ta có \(\left\{\begin{array}{ll} OH \bot AB\\ OK \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}AB=2HB\\ CD=2KD \end{array} \right.\) (Đường kính vuông góc với dây cung) \((1)\)
Áp dụng định lí Py - ta - go cho hai tam giác vuông \(OHB\) và \(OKD,\) ta có:
\(\left\{\begin{array}{ll}OH^2+HB^2= OB^2=R^2\\OK^2+KD^2=OD^2=R^2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}OH^2=R^2-HB^2\\ OK^2=R^2-KD^2\end{array} \right.\) \((2)\)
a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\)
Theo giả thiết: \(AB=CD.\)
Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB=KD \Rightarrow HB^2=KD^2.\)
Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2=OK^2\Rightarrow OH=OK.\)
Vậy trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\)
Theo giả thiết: \(OH=OK.\)
\(\Rightarrow OH^2=OK^2.\)
Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2=KD^2.\)
\(\Rightarrow HB=KD.\)
Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB=CD.\)
Vậy trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.\(\square\)
Ví dụ 1:
Cho đường tròn \((O);\) đường kính \(AB,\) hai dây \(AC\) và \(BD\) song song với nhau. Gọi \(d_1;\ d_2\) lần lượt là khoảng cách từ \(O\) đến \(AC,\ BD.\) So sánh \(d_1\) và \(d_2.\)
Phân tích:
Với bài toán này, ta không có số liệu cụ thể để tính toán khoảng cách để so sánh.
Do vậy ta phải sử dụng mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Tìm mối quan hệ giữa hai dây \(AC\) và \(BD\)
Giải:
Ta có: \(C \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OC=\dfrac{AB}{2}.\)
\(\Rightarrow \Delta ACB\) vuông tại \(C.\)
\(\Rightarrow AC \bot BC.\)
Ta lại có: \(D \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OD=\dfrac{AB}{2}.\)
\(\Rightarrow \Delta ADB\) vuông tại \(D.\)
\(\Rightarrow BD \bot AD.\)
Mà \(AC // BD \Rightarrow AD // BC.\)
Khi đó, tứ giác \(ACBD\) là hình bình hành.
\(\Rightarrow AC=BD\) (Tính chất hình bình hành)
\(\Rightarrow d_1 = d_2.\) (Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)\(\square\)
Ví dụ 2:
Cho hình vẽ:
Trong hai đoạn thẳng GH và MN, đoạn nào dài hơn?
GiảiVì hai điểm \(I,\ J\) cùng thuộc đường tròn nhỏ nên \(OI = OJ.\)
Mà trong đường tròn lớn có \(OI,\ OJ\) là khoảng cách từ tâm tới hai dây \(GH;\ MN\)
\(\Rightarrow GH=MN.\) (Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)\(\square\)
Định lí 2 [edit]
Trong hai dây của một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Cho \((O), \) hai dây \(AB,\ CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Khi đó:
a) Nếu \(AB
b)Nếu \(OH
Chứng minh:
a) Nếu\(AB>CD\) thì \(OH
Theo giả thiết: \(AB>CD.\)
Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB> KD\Rightarrow HB^2>KD^2\)
Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2
Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Nếu \(OH
Theo giả thiết: \(OH
Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2>KD^2.\)
Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB^2>CD^2\Rightarrow AB>CD.\)
Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.\(\square\)
Ví dụ 3:
Cho \((O),\) hai dây \(AB,\ CD\) không đi qua tâm. Biết khoảng cách từ tâm đến dây \(AB, CD\)lần lượt là \(4cm,\ 3cm.\) So sánh độ dài hai dây \(AB\) và \(CD.\)
Giải
Từ \(O\) kẻ \(OI \bot AB\ ( I \in AB);\ OK \bot CD\ (K \in CD).\)
\(\Rightarrow OK=3cm;\ OI=4cm.\)
Mà \(OK
\(\Rightarrow CD>AB.\) (Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn)\(\square\)
Ví dụ 4:
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\) Gọi \(M,\ N,\ P\) lần lượt là hình chiếu của tâm \(O\) lên \(AC,\ AB,\ BC.\) So sánh ba đoạn thẳng \(OM,\ ON,\ OP\) nếu \(AB = 5cm;\ AC = 7cm\) và \(BC = 11cm.\)
Giải
Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\)
\(\Rightarrow AB,\ AC,\ BC\) là ba dây cung của đường tròn.
Ta có: \(BC>AC\ (11cm>7cm)\)
\(\Rightarrow OP
Lại có: \(AC>AB\ (7cm>5cm)\)
\(\Rightarrow OM
Từ \((1)\) và \((2)\)
\(\Rightarrow OP
Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến mối giây của chứng bằng nhau dụng hay sai Mới nhất 2022
Contents
- 1 Mẹo về Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi khoảng chừng cách từ tâm đến mối giây của chứng bằng nhau dụng hay sai Mới nhất 2022
- 1.1 Chia Sẻ Link Cập nhật Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi khoảng chừng chừng cách từ tâm đến mối giây của chứng bằng nhau dụng hay sai miễn phí
- 1.2 Video Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi khoảng chừng cách từ tâm đến mối giây của chứng bằng nhau dụng hay sai Mới nhất ?
- 1.3 Share Link Cập nhật Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi khoảng chừng cách từ tâm đến mối giây của chứng bằng nhau dụng hay sai Mới nhất miễn phí
- 1.3.1 Giải đáp vướng mắc về Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi khoảng chừng cách từ tâm đến mối giây của chứng bằng nhau dụng hay sai Mới nhất
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Kiến thức cần nhớ:
Trong một đường tròn :
– Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
– Dây lớn hơn thì gần tâm hơn, dây gần tâm hơn thì lớn hơn.
Ví dụ 11
Trong đường tròn (O) kẻ hai dây bằng nhau AB và A’B’. Các đường thẳng chứa hai dây ấy cắt nhau ở M (B nằm giữa A và M, B’ nằm giữa A’ và M).
Chứng minh rằng MA = MA’, MB = MB’.
Giải
Kẻ OC ⊥ AB và OC⊥ A’B’.
Ta có CA = CB, C’A’ = C’B’.
Do AB = A’B’ (giả thiết) nên
CA = CB = CA’ = C’B’;
OC = OC.
Hai tam giác vuông OCM và OCM bằng nhau vì có cạnh huyền OM chung và một cặp cạnh góc vuông bằng nhau OC = OC’.
Suy ra MC = MC’. (2)
Ta có : MA = MC + CA, MA’ = MC’ + C’A’. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra MA = MA’. Lại do AB = A’B’ nên MB = MB’.
BÀI TẬP
36.Cho một điểm I nằm bên trong đường tròn (O). Qua I kẻ một dây AB bất kì và kẻ dây CD vuông góc với OI, OI kéo dài cắt đường tròn (O) ở E. Bán kính OF vuông góc với AB tại H.
a) So sánh AB và CD.
b) So sánh IE và HF.
37.Cho hai dây AB và CD bằng nhau, cắt nhau ở E nằm bên trong đường tròn (O).
Chứng minh rằng điểm E chia AB và CD thành những đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.
38.Cho đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ hai dây song song AC và BD. Chứng minh rằng :
a) AC = BD;
b) Ba điểm C, O, D thẳng hàng.
39.Cho cung phần tư AB của đường tròn (O). Từ A và B, ta kẻ hai dây bằng nhau AM và BN. Hai dây này cắt nhau ở C. Chứng minh rằng oc vuông góc với AB.
Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.
Related
Mục lục
- 1 Một số thuật ngữ
- 2 Sự xác định đường tròn
- 3 Hình tròn
- 4 Lịch sử
- 5 Đặc điểm
- 5.1 Độ dài đường tròn (chu vi hình tròn)
- 5.2 Diện tích bao kín
- 5.3 Phương trình
- 5.3.1 Hệ tọa độ Descartes
- 5.3.2 Hệ tọa độ cực
- 5.3.3 Mặt phẳng phức
- 5.4 Đường tiếp tuyến
- 6 Tính chất
- 6.1 Tính chất chung
- 6.2 Dây cung
- 6.3 Tiếp tuyến
- 6.4 Định lý
- 6.5 Sagitta
- 7 Dựng hình
- 7.1 Dựng đường tròn với đường kính cho trước
- 7.2 Dựng đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng
- 7.3 Dựng tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn
- 8 Đường tròn của Apollonius
- 8.1 Tỉ số kép
- 8.2 Đường tròn tổng quát
- 9 Đường tròn nội tiếp hay ngoại tiếp
- 10 Vị trí tương đối
- 10.1 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
- 10.2 Vị trí tương đối giữa 2 đường tròn
- 11 Đường tròn dưới dạng đặc biệt của những hình khác
- 12 Góc với đường tròn
- 12.1 Góc ở tâm - số đo cung
- 12.2 Góc nội tiếp
- 12.3 Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung
- 12.4 Tính chất của góc có đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn
- 13 Cầu phương hình tròn
- 14 Xem thêm
- 14.1 Đường tròn với tên đặc biệt
- 14.1.1 Của tam giác
- 14.1.2 Của tứ giác nhất định
- 14.1.3 Của đa giác nhất định
- 14.1.4 Của hình cầu
- 14.1.5 Của một hình xuyến
- 14.1 Đường tròn với tên đặc biệt
- 15 Tham khảo
- 16 Liên kết ngoài