4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, không thuần nhất hệ số hàm số:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thần nhất, hệ số hàm là phương trình có dạng:
[4.1],
trong đó là những hàm số liên tục trên [a;b].
Để giải phương trình này, theo mục 3.5 ở trên ta cần 2 bước:
– Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
– Bước 2: Tììm 1 nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.
4.1: Giải phương trình thuần nhất: [4.1.1]
Dạng phương trình này cho đến nay vẫn chưa có cách giải tổng quát mà chỉ có thể giải được nếu như ta biết trước 1 nghiệm riêng Khi đó, ta sẽ tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính với bằng công thức Liouville [công thức 3.5.4] ở trên.
Ta có:
Chia hai vế cho [4.1.2] ta có: [4.1.3]
Quan sát vế trái ta thấy vế trái chính là đạo hàm của . Vậy:
[4.1.4]
Do đó, lấy tích phân hai vế ta có: [4.1.5]
Vậy: [4.1.6]
Từ [4.1.6] ta dễ dàng nhận thấy độc lập tuyến tính.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [4.1.1] là
4.2 Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Cho phương trình: [4.2.1]
Biết phương trình có 1 nghiệm riêng dạng đa thức bậc 2. Bạn hãy tìm nghiệm tổng quát của pt [4.2.1].
Do pt [4.2.1] có 1 nghiệm riêng dạng đa thức bậc hai nên nghiệm riêng có dạng: Thế vào phương trình ta có:
Suy ra: b = 0 , a, c tùy ý . Vậy nghiệm riêng
Bây giờ, ta tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính với dụa vào công thức [4.1.5]
Ta có:
Hay:
Vậy nghiệm tổng quát của pt [4.2.1] là:
Ví dụ 2. Cho phương trình [4.2.2]
Biết là 1 nghiệm riêng của phương trình [4.2.2]. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình [4.2.2]
Trường hợp thì từ pt ta có:
Giả sử :
Do là 1 nghiệm riêng của [4.2.2] nên nghiệm riêng độc lập tuyến tính với được xác định bởi:
Hay:
trong đó
nên
Vậy:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [4.2.2] là:
4.3 Tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất [4.1]: Phương pháp biến thiên hằng số [method of variation of parameters]:
Cho phương trình
và phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát:
Khi đó ta tìm 1 nghiệm riêng có dạng:
Nói cách khác, ta cần tìm u[x], v[x] để y* là 1 nghiệm riêng của [4.1]
Ta có: [4.3.1]
Nhận xét: nếu tiếp tục lấy đạo hàm rồi thế vào pt thì ta sẽ có 1 biểu thức trong đó có 6 đại lượng chưa biết là nên không thể giải được.
Do vậy, ta cần tìm u[x], v[x] sao cho biểu thức [4.3.1] có thể triệt tiêu bớt những thành phần chưa biết.
Vì vậy, ta sẽ chọn u[x], v[x] sao cho:
[4.3.2]
Khi đó, từ biểu thức [4.3.1] ta có:
[4.3.3]
Lấy đạo hàm biểu thức [4.3.3] ta có:
[4.3.4]
Thế [4.3.4] và [4.3.3] vào pt[4.1] và chú ý là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất, ta có:
[4.3.5]
Từ [4.3.2] và [4.3.5] ta có u[x], v[x] là nghiệm của hpt:
[I]
Do là 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên theo [3.5] và lý thuyết hệ phương trình ta sẽ có hệ pt [I] có duy nhất nghiệm u'[x] , v'[x].
Vậy ta tìm được u[x], v[x]. Do đó tìm được nghiệm riêng y*.
Vậy bài toán đã được giải quyết.
4.4 Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Biết rằng các hàm tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình . Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình: [4.4.1]
Giải
Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
Ta tìm nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất [4.4.1] bằng phương pháp biến thiên hằng số.
Muốn vậy, trước tiên ta phải chuyển phương trình về dạng , nghĩa là phải chia 2 vế cho x.
Mẹo: từ phương trình trên ta dễ dàng nhận thấy y = 1 thỏa mãn phương trình [4.4.1]. Vậy ta có thể tìm nghiệm riêng y* bằng cách kiểm tra y = 1 là nghiệm. Cách này sẽ giúp ta tính toán nhanh hơn so với cách chính quy.
Cách chính quy: nghiệm riêng y* của [4.4.1] có dạng
trong đó u[x], v[x] là nghiệm của hệ phương trình:
Giải hệ phương trình trên ta được:
Bằng cách tích phân từng phần ta có:
Vậy ta nhận được nghiệm riêng của phương trình [4.4.1] là:
Suy ra, nghiệm tổng quát của phương trình [4.4.1] có dạng: