Viết phương trình đường thẳng [d] song song với AB và tiếp xúc với [P]
A.
y =2 x -
B.
y = x -
C.
y = x +
D.
y = 2x +
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Đường thẳng d qua M song song với mp[P] và vuông góc với d’ [d’ không vuông góc với Δ], nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Đường thẳng d qua M song song với mp[P] và vuông góc với d’ [d’ không vuông góc với Δ]: Phương pháp giải. Phương pháp. Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là u, mặt phẳng [P] có một véctơ pháp tuyến. Lúc này ta được véctơ chỉ phương của đường thẳng d. Ví dụ 12. Cho điểm A[2; -5; -1]. Lập phương trình của đường thẳng A’ qua A, song song với [P] và vuông góc. Ta có [P] có một véctơ pháp tuyến là m = [1; -1; -1], đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là x = [2; 1; 3], nên đường thẳng A có véc tơ chỉ phương là n = [-2; 5; 3]. Ví dụ 13. Cho điểm A[1; 1; 1] và mặt phẳng [P]: -x + 3 – 43 – 5 = 0, đường thẳng d x = 1 + 2t, y = -4 + 5t. Lập phương trình của đường thẳng A’ qua A, song song với [P]. Ta có [P] có một véctơ pháp tuyến là n = [-1; 3; –4], đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là u = [2; 5; -1], nên đường thẳng A có véctơ chỉ phương là [u , mu’] = [17; -9; -11]. Ví dụ 14. Cho điểm A[-2; 1; -6] và hai mặt phẳng [P]: 2x + 3y – z + 12 = 0, [Q]: 2 – 2x + 2 − 1= 0. Lập phương trình của đường thẳng A qua A, song song với [P] và vuông góc với giao tuyến của [P] và [Q]. Ta có [P], [Q] lần lượt có véctơ pháp tuyến là i = [2; 3; -1], T = [1; -2; 2], nên véc tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến là k, m = [4; -5; -7]. Và ta được đường thẳng A có véc tơ chỉ phương là [i , mi] = [-26; 10; -22]. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 17. Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua A[1; -2; 3], vuông góc với đường thẳng [A]: x = -1 + 3t y = -3 + 2t và song song với mặt phẳng [P] : 2c + g + 33 – 5 = 0 z = 2 – 7. Lời giải. Đường thẳng [A] có véctơ chỉ phương là a = [3; 2; -1], mặt phẳng [P] có véctơ pháp tuyến là n = [2; 1; 3]. Gọi đó là véctơ chỉ phương của đường thẳng [d]. Vậy [d] có phương trình tham số là g = 2 – 11t , z = 3 + t. Bài 18. Viết phương trình đường thẳng [A] đi qua A[1; 1; -2], vuông góc với đường thẳng [d]: x +1 Y-1 2 – 2 và song song với mặt phẳng [P]: x – y – 3 = 0. Gọi a, … , n lần lượt là véctơ chỉ phương của [d], véctơ chỉ phương của [A] và véctơ pháp tuyến của mặt phẳng [P], ta có a = [2; 1; 3], i = [1; -1; -1].Bài 19. Viết phương trình đường thẳng [A] đi qua M[2; 2; 4], vuông góc với đường thẳng [d]: y – 2 và song song với mặt phẳng [P]: x + 3y + 2x +3 = 0. Gọi a, c, n lần lượt là véctơ chỉ phương của [d], véctơ chỉ phương của [A] và véctơ pháp tuyến của mặt phẳng [P], ta có a = [3; –2; 2], m = [1; 3; 2].
Bài 20. Trong không gian cho các điểm A[1; 1; -1]; B[2; -1; 3], C[1; 2; 2], D[-1; 2; 1]. Viết phương trình của đường thẳng [d] đi qua A, vuông góc với AB và song song với mặt phẳng [BCD]. Ta có : AB = [1; -2; 4]; BC = [-1; 3; -1]; CD = [-2; -4; -1]. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng [BCD] là n = BC, CD = [-7; 1; 10]. Gọi i là véctơ chỉ phương của AB của [d]. Do đó i = AB; i = [-24; -38; -13].
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Hai đường thẳng y = ax+ b [a 6= 0] và y = a0x+ b 0 [a0 6= 0] là: Song song với nhau nếu a = a 0 và b 6= b 0. Trùng nhau nếu a = a0 và b = b0. 2 Đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng y = ax+ b và y0 = a 0 x+ b 0 cắt nhau khi và chỉ khi a 6= a0. Đặc biệt nếu a 6= a0 và b = b0 chúng cắt nhau tại một điểm trên O y. 3 Vị trí của hai đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Cho hai đường thẳng [d1]: y = a1x+ b1, [d2]: y = a2x+ b2, ta có các kết quả sau: [d1] ≡ [d2] ⇔ a1 = a2 và b1 = b2. [d1] ∥ [d2] ⇔ a1 = a2 và b1 6= b2. [d1]∩[d2] = {A} ⇔ a1 6= a2. [d1] ⊥ [d2] ⇔ a1 · a2 = −1. B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ 1. Cho hàm số y = ax+2 1 Xác định a, biết đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = −x. 2 Vẽ đồ thị hàm số tìm được trong câu a]. Tính diện tích tam giác được tạo bởi đồ thị hàm số trong câu a] và các trục tọa độ. Lời giải. 1 Vì đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = −x+2 nên a = −1. Vậy hàm số có dạng y = −x+2. 2 Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy hai điểm A[0;2] và B[2;0]. Nối A và B ta được đồ thị cần vẽ. Khi đó ta có S4OAB = 12 ·OA ·OB Chú ý. Ta có các kết quả sau: Với điểm A [0; yA] thì OA = |yA|. Với điểm A [xA;0] thì OA = |xA|. Với điểm A [xA; yA] thì OA = x. Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng [d1]: y = 2x+1, [d2]: y = x+1. 1 Chứng tỏ rằng hai đường thẳng [d1] và [d2] cắt nhau. Xác định tọa độ giao điểm I của chúng và vẽ hai đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ. 2 Lập phương trình đường thẳng [d] đi qua I và song song với đường thẳng y = −4x+1. 3 Lập phương trình đường thẳng [d0] đi qua I và song song với đường thẳng y = 12x+9. Lời giải. 1 Nhận xét rằng: Đường thẳng [d1] có a1 = 2 và b1 = 1. Đường thẳng [d2] có a2 = 1 và b2 = 1. Suy ra a1 6= a2 và b1 = b2 ⇒ [d1] cắt [d2] cắt nhau tại điểm I trên O y. Giả sử giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ I [0; y0] vì I thuộc [d1] nên y0 = 2·0+1 = 1 ⇒ I[0;1]. 2 Đường thẳng [d] song song với đường thẳng y = −4x+1, có phương trình [d]: y = −4x+ b. Vì I ∈ [d] nên 1 = −4·0+ b ⇔ b = 1. Vậy phương trình đường thẳng [d]: y = −4x+1. 3 Đường thẳng [d0] song song với đường thẳng y = 12x+9 có phương trình [d0]: y = 12x+ b, với b 6= 9. Vì I d 0 nên 1 = 12·0+ b ⇔ b = 1. Vậy phương trình đường thẳng [d0]: y = 12x+1. Nhận xét. Trong lời giải của ví dụ trên Ở câu a] dựa trên nhận xét [d1] và [d2] cắt nhau tại điểm I trên O y nên ta mới giả sử I[0; y0]. Trong trường hợp tổng quát với hai đường thẳng [d1]: y = a1x + b1, [d2]: y = a2x + b2 với [a1 6= a2], ta giả sử tọa độ giao điểm I[x0; y0] rồi nhận xét: – I [d1] ⇒ y0 = a1x0 + b1 [1]. – I ∈ [d2] ⇒ y0 = a2x0 + b2 [2]. Từ [1] và [2] suy ra a1x0 + b1 = a2x0 + b2 ⇔ x0 = b2 − b1 a1 − a2. Thay x0 vào [1] hoặc [2] [tùy theo việc thay nào dễ hơn] ta nhận được giá trị của y0, từ đó suy ra tọa độ điểm I. Ở câu b] và câu c], ta có thể khẳng định được b = 1 thông qua nhận định “Đường hẳng [d] và [d0] luôn cắt [d1] tại điểm I thuộc O y”. Ví dụ 3. Cho đường thẳng [∆]: y = x + 6. Lập phương trình đường thẳng [d] song song với đường thẳng [∆] và 1 Đi qua điểm M[1;2]. 2 Khoảng cách từ O đến [d] bằng 2p2. Lời giải. Đường thẳng [d] song song với đường thẳng ∆ có phương trình [d]: y = x+ b. 1 Vì M[1;2] [d] nên 2 = 1+ b ⇔ b = 1. Vậy ta được phương trình đường thẳng [d]: y = x+1. 2 Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của [d] với các trục O y, Ox, ta được: Với điểm A: x = 0 ⇒ y = 0+ b = b, do đó A[0;b]. Với điểm B: y = 0 ⇒ 0 = x+ b ⇔ x = −b, do đó B[−b;0]. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng [d]. Trong 4OAB vuông tại O, ta có 1OH2 ⇔ |b| = 4 ⇔ b = ±4. Khi đó Với b = 4, ta được đường thẳng [d3]: y = x+4 Với b = −4, ta được đường thẳng [d4]: y = x−4. Vậy tồn tại hai đường thẳng [d3] và [d4] thỏa mãn điều kiện đề bài.
Nhận xét. Qua lời giải của ví dụ trên, ta ghi nhận kết quả “Mọi đường thẳng song song với đường thẳng y = ax + m luôn có phương trình y = ax + b”. Khi đó, để xác định phương trình đường thẳng chúng ta chỉ cần xác định b. Ví dụ 4. Lập phương trình đường thẳng [d] biết [d] đi qua điểm M[1;2] và chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau. Lời giải. Đường thẳng [d] có phương trình [d]: y = ax+ b. Vì M[1,2] thuộc [d] nên 2 = a+ b ⇔ a = 2− b. [1] Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của [d] với các trục O y, Ox, ta được A[0;b] và B Khi đó: Với b = 0 thay vào [1] suy ra a = 2, ta được phương trình đường thẳng [d1]: y = 2x. Với b = 3 thay vào [1] suy ra a = −1, ta được phương trình đường thẳng [d2]: y = −x+3.