Đề bài
Từ một điểm P ở ngoài đường tròn [O], kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đến đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C bất kì, kẻ các đường vuông góc CD, CE, CF lần lượt xuống các đường thẳng AB, BP, PA. Chứng minh rằng : \[\widehat {DCF} = \widehat {DCE}\] và \[\widehat {DFC} = \widehat {CDE}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Tứ giác nội tiếp
+Góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung
Lời giải chi tiết
Ta có E và D nằm trên đường tròn đường kính BC, F và D nằm trên đường tròn đường kính AC.
Do đó \[\widehat {DCF} + \widehat {PAB} = \widehat {DCE} + \widehat {PBA} = 2v\]
Trong đó \[\widehat {PAB} = \widehat {PBA}\] [Góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và dây cùng chắn cung nhỏAB].
Vậy \[\widehat {DCF} = \widehat {DCE}\].
Trong đường tròn [O], ta có : \[\widehat {CBE} = \widehat {CAB}\] [góc giữa tiếp tuyến và một dây và góc nội tiếp cùng chắn cung CB].
Trong đường tròn đường kính BC, ta có : \[\widehat {CBE} = \widehat {CDE}\] [ góc nội tiếp cùng chắn cung CE].
Trong đường tròn đường kính CA, ta có : \[\widehat {CAB} = \widehat {DFC}\] [ góc nội tiếp cùng chắn cung CD].
Vậy \[\widehat {DFC} = \widehat {CDE}\].