Đề bài - câu 15 trang 115 sách bài tập hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.ABCD. Một đường thẳng cắt các đường thẳng AA, BC, CD lần lượt tại M, N, P sao cho \(\overrightarrow {NM} = 2\overrightarrow {NP} \) . Tính \({{MA} \over {MA'}}\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \) . Vì M thuộc đường thẳng AA nên

\(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AA'} = k\overrightarrow c \).

N là điểm thuộc đường thẳng BC nên \(\overrightarrow {BN} = l\overrightarrow a \);

P là điểm thuộc đường thẳng CD nên \(\overrightarrow {C'P} = m\overrightarrow b \)

Với k, l, m là những số thực.

Ta có:

\(\eqalign{ & \overrightarrow {NM} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} = - l\overrightarrow a - \overrightarrow b + k\overrightarrow c \cr & \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {C'P'} \cr & = - l\overrightarrow a + \overrightarrow c + \overrightarrow a + m\overrightarrow b \cr & = \left( {1 - l} \right)\overrightarrow a + m\overrightarrow b + \overrightarrow c \cr} \)

Do \(\overrightarrow {NM} = 2\overrightarrow {NP} \) nên ta có:

\(\left\{ \matrix{ - l = 2\left( {1 - l} \right) \hfill \cr - 1 = 2m \hfill \cr k = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow k = 2,m = - {1 \over 2},l = 2\)

Vậy \({{MA} \over {MA'}} = 2\)