Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD.
a] Chứng minh hệ thức: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\]
b] Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xen điểm thích hợp vào từng cặp tích vô hướng.
- Cộng các tích vô hướng và suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} [\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} ] = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \] [1]
\[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AC} [\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ] = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \] [2]
\[\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} [\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ] = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \] [3]
Lấy [1] + [2] + [3] ta có hệ thức cần chứng minh là:
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\]
b] Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: Nếu tứ diện ABCD có \[AB \bot CD,AC \bot DB\] , nghĩa là \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\] và \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} = 0\] thì \[\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\] và do đó \[AD \bot BC\].