- LG a
- LG b
- LG c
Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:
LG a
\[\displaystyle \int\limits_0^1 {{x^n}{{[1 - x]}^m}dx} \]\[\displaystyle = \int\limits_0^1 {{x^m}{{[1 - x]}^n}dx} ;m,n \in {N^*}\]
Phương pháp giải:
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.
Giải chi tiết:
Đúng vì trong tích phân \[\displaystyle \int\limits_0^1 {{x^n}{{[1 - x]}^m}dx} \], nếu đặt \[\displaystyle t = 1 - x\] thì \[\displaystyle dx = - dt\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^n}{{[1 - x]}^m}dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_1^0 {{{\left[ {1 - t} \right]}^n}.{t^m}.\left[ { - dt} \right]} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^1 {{t^m}.{{\left[ {1 - t} \right]}^n}dt} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^1 {{x^m}.{{\left[ {1 - x} \right]}^n}dt} \]
LG b
\[\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}}}{{{e^t} + 1}}} dt = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \]
Phương pháp giải:
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.
Giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} + \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \] [*]
Dùng phương pháp đổi biến \[\displaystyle t = - x\] đối với tích phân \[\displaystyle \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \], ta được:
\[\displaystyle \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}dx}}{{{e^{ - x}} + 1}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^{ - t}} + 1}}} } \]\[\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt} \]
Thay vào [*] ta có: \[\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \]\[\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt} + \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t} + {t^2}}}{{{e^t} + 1}}dt} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}\left[ {{e^t} + 1} \right]}}{{{e^t} + 1}}dt} = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \]
Vậy \[\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \].
LG c
\[\displaystyle \int\limits_0^1 {{{\sin }^3}x\cos xdx = } \int\limits_0^1 {{t^3}} dt\]
Phương pháp giải:
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.
Giải chi tiết:
Sai.
Đặt \[\displaystyle \sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\sin }^3}s\cos xdx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{t^3}dt} \ne \int\limits_0^1 {{t^3}dt} \]
Vậy c sai.