Đề bài
Tam giác \[ABC\] có độ dài các cạnh \[AB= m, AC= n\] và \[AD\] là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác \[ABD\] và diện tích tam giác \[ACD\] bằng\[\dfrac{m}{n}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: Công thức tính diện tích của tam giác,tính chất đường phân giác của tam giác.
Lời giải chi tiết
Gọi diện tích của tam giác \[ABD\] và \[ACD\] [h.18] lần lượt là\[{S_{ABD}};{S_{ACD}} \].
Gọi đường cao của tam giác là \[AH\].
\[{S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}BD.AH\]
\[{S_{ACD}} = \dfrac{1}{2}DC.AH\]
\[ \dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BD.AH}{\dfrac{1}{2}DC.AH} = \dfrac{BD}{DC}\]
Vì \[AD\] là đường phân giác của góc \[A\], nên ta có:
\[ \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{m}{n}\] [tính chất đường phân giác của tam giác]
Vậy\[\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{m}{n}\] [đpcm].