Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 là một trong những chuyên đề quan trọng của toán lớp 9. Đây là chuyên đề không quá phức tạp nhưng lại có nhiều dạng bài tập. Nếu không hiểu rõ lý thuyết, bạn sẽ không thể làm đúng các dạng bài tập. Vậy bạn đã biết công thức giải phương trình bậc 2 và các dạng bài tập liên quan chưa? Hãy cùng Toppy tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây.
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Phương trình bậc 2 là gì?
Trước khi tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình bậc 2, chúng ta cần hiểu phương trình bậc 2 là gì, có dạng thế nào. Phương trình bậc hai hay còn được gọi là phương trình bậc hai 1 ẩn. Đây là phương trình gồm 1 ẩn số, được tổng quát dưới dạng:
ax2 + bx +c = 0 [a ≠0]
Trong đó: a, b, c là các số thực được cho trước, x là ẩn số phải đi tìm và a phải là một số khác 0. Bởi nếu a = 0 thì phương trình trên sẽ trở về phương trình bậc 1 có một ẩn số.
Với dạng phương trình này sẽ có nhiều dạng bài tập khác nhau. Tuy nhiên, nhìn chung, các dạng bài tập đều quy về việc tìm nghiệm của phương trình cho trước. Tập nghiệm có thể gồm 1 hoặc nhiều nghiệm, miễn sao thỏa mãn phương trình.
Phương trình bậc 2 là một dạng bài tập quan trọng trong toán 9
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Sau khi đã tìm hiểu về phương trình bậc 2, chắc hẳn bạn đang thắc mắc công thức nghiệm của phương trình bậc 2 thế nào. Công thức giải phương trình bậc 2 dạng ax2 + bx +c = 0 [a ≠0] có Δ = b2 – 4ac sẽ có 3 trường hợp:
- Δ = 0: khi đó phương trình sẽ có nghiệm kép hay còn gọi là 2 nghiệm.
- Δ > 0 thì có 2 nghiệm khác nhau là x1 và x2, được tính theo công thức [−b+/-√ Δ]/2a.
- Trường hợp Δ < 0 thì phương trình bậc 2 kể trên vô nghiệm, tức là phương trình không có số nào thỏa mãn để 2 vế bằng nhau.
Trong trường hợp 2 số thực a,c trái dấu thì phương trình sẽ luôn có 2 nghiệm phân biệt nhau, tức là Δ > 0.
Dạng của phương trình bậc 2
Định lý Viet trong phương trình bậc 2
Nhắc tới phương trình bậc 2 và công thức giải phương trình bậc 2, chúng ta không thể không nhắc tới định lý Viet. Đây là một định lý quan trọng, liên quan tới nhiều dạng bài tập của phương trình bậc 2.
Như đã giới thiệu ở trên, phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx +c = 0 [a ≠0] sẽ có tối đa 2 nghiệm, gọi là x1 và x2. Khi đó, x1 và x2 sẽ thỏa mãn đồng thời cả 2 điều kiện, đó là:
- x1 + x2 = -b/a
- x1x2 = c/a
Khi làm bài tập về phương trình bậc 2, bạn có thể áp dụng định lý viet bằng cách biến đổi biểu thức để xuất hiện x1 + x2 và x1x2.
Bạn cũng có thể áp dụng định lý Viet đảo với 2 số x1 và x2 thỏa mãn 2 điều kiện:
Trong đó: cả x1 và x2 đều là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0.
Nhắc tới định lý Viet, chúng ta không thể bỏ qua ứng dụng của định lý này. Với phương trình bậc 2, bạn có thể dễ dàng tính được nghiệm của phương trình mà không cần áp dụng công thức tính nghiệm với một số trường hợp đặc biệt:
- Trường hợp 1: a+b+c=0 thì phương trình có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = c/a.
- Trường hợp 2: a-b+c=0 thì phương trình có 2 nghiệm là x1 = -1 và x2 = -c/a. [Đây là trường hợp ngược lại của trường hợp 1, bạn cần nhìn kỹ dấu để tránh nhầm lẫn].
Phương trình bậc 2 có các dạng bài tập quan trọng
Dạng bài tập ứng dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Sau khi tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình bậc 2, bạn cần lưu ý tới các dạng bài tập. Mỗi dạng bài tập sẽ có một phương pháp giải khác nhau. Áp dụng đúng phương pháp sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian và giải bài tập chính xác hơn.
Cụ thể, hiện nay phương trình bậc 2 có các dạng bài tập chủ yếu như:
Dạng 1: phương trình bậc 2 một ẩn không có tham số
Để giải dạng bài tập này, bạn cần áp dụng công thức Δ và Δ’ rồi áp dụng các công thức tính phương trình bậc 2 đã được giới thiệu ở trên. Qua đó tìm được nghiệm của phương trình.
Ví dụ: ta có phương trình: x2-3x+2=0. Áp dụng công thức tính Δ, ta sẽ có Δ = 1. Vậy 2 nghiệm của phương trình sẽ lần lượt là:
Dạng 2: phương trình bậc 2 một ẩn có tham số
Bên cạnh dạng không chứa tham số, phương trình bậc 2 một ẩn có tham số cũng là một dạng bài tập quan trọng. Để giải dạng bài tập này, bạn cũng cần sử dụng công thức tính Δ. Từ đó, dựa vào 3 trường hợp của Δ đã được giải thích ở trên, bạn có thể xác định được phương trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt hay vô nghiệm. Từ đó áp dụng công thức để tính được các giá trị nghiệm cụ thể.
Trên đây là công thức nghiệm của phương trình bậc 2 và cách giải một số dạng bài tập của phương trình bậc 2. Hãy ghi nhớ các công thức, dạng bài tập để có thể áp dụng khi gặp dạng bài tập này nhé.
Xem thêm:
1.Công thức nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$
và biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$.
TH1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$.
TH3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1}} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}$, ${x_{2}} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$.
Chú ý: Nếu phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\, [a \ne 0]\] có \[a\] và \[c\] trái dấu, tức là \[ac < 0\]. Do đó \[\Delta = {b^2} - 4ac > 0\]. Vì thế phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn
Phương pháp:
Phương trình bậc hai một ẩn [ hay gọi tắt là phương trình bậc hai] là phương trình có dạng:
$a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$ trong đó $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn không dùng công thức nghiệm
Phương pháp:
Ta thường sử dụng các cách sau:
Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng vế trái là một bình phương, vế còn lại là một số hoặc một bình phương.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
Dạng 3: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm.
Phương pháp:
Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2: Kết luận
- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$
- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$.
Dạng 4: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp:
Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]$
1. PT có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.$
2. PT có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$
3. PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta < 0$.