Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 trong đó có chữ số 3 mà chữ số 3 có giá trị là 300
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 trong đó có chữ số 3 mà chữ số 3 có giá trị là 3002 tuần trướcGiả sử bạn đang chuẩn bị một báo cáo và bạn muốn đếm số lượng hóa đơn bán hàng lớn hơn hoặc nhỏ hơn một giá trị cụ thể. Dùng hàm COUNTIF để đếm các số lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số. Show A11 và A12 có các công thức trong đó COUNTIF kiểm tra số lượng hóa đơn nhỏ hơn 20000 và lớn hơn hoặc bằng 20.000 trong phạm vi B2:B7. CountIF tìm thấy 4 giá trị nhỏ hơn 20000 và 2 giá trị lớn hơn và bằng 20000. Video liên quanCác bài toán về dãy số viết theo quy luật có lời giải - Toán lớp 5
Trang trước
Trang sau
Tải xuống Nhằm mục đích giúp học sinh nắm vững được cấu trúc và các dạng toán hay có trong đề thi vào lớp 6 môn Toán, Tôi biên soạn tài liệu Các bài toán về dãy số viết theo quy luật có lời giải đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp học sinh ôn luyện và đạt điểm cao trong kì thi tuyển sinh vào lớp 6 môn Toán. I. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết của dãy số 1. Phương pháp Xác định quy luật của dãy số đó. 2. Ví dụ Ví dụ 1. Viết tiếp 3 số: a) 5, 10, 15, ... b) 3, 7, 11, ... Bài giải a) 5, 10, 15, ... Vì: 10 – 5 = 5; 15 – 10 = 5 Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 5 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là: 15 + 5 = 20 20 + 5 = 25 25 + 5 = 30 Dãy số mới là: 5, 10, 15, 20, 25, 30 b) 3, 7, 11, ... Vì: 7 – 3 = 4; 11 – 7 = 4 Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 4 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là: 11 + 4 = 15 15 + 4 = 19 19 + 4 = 23 Dãy số mới là: 3, 7, 11, 15, 19, 23 Ví dụ 2. Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... b) 0, 2, 4, 6, 12, 22, ... c) 0, 3, 7, 12, ... d) 1, 2, 6, 24, ... Bài giải a) Nhận xét: 4 = 1 + 3 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 18 = 7 + 11 Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,... b) Tương tự bài a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, ... c) Ta nhận xét: Số hạng thứ hai là: 3 = 0 + 1 + 2 Số hạng thứ ba là: 7 = 3 + 1 + 3 Số hạng thứ tư là: 12 = 7 + 1 + 4 Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau: 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, ... d) Ta nhận xét: Số hạng thứ hai là 2 = 1 × 2 Số hạng thứ ba là 6 = 2 × 3 số hạng thứ tư là 24 = 6 × 4 Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... Ví dụ 3.số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng. a) …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b) …, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Bài giải a) Ta nhận thấy: Số hạng thứ 10 là: 1024 = 512 × 2 Số hạng thứ 9 là: 512 = 256 × 2 Số hạng thứ 8 là: 256 = 128 × 2 Số hạng thứ 7 là: 128 = 64 × 2 …. Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: Mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước đó. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 × 2 = 2. b) Ta nhận thấy rằng: Số hạng thứ 10 là: 110 = 11 × 10 Số hạng thứ 9 là: 99 = 11 × 9 Số hạng thứ 8 là: 88 = 11 × 8 Số hạng thứ 7 là: 77 = 11 × 7 … Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng ấy nhân với 11. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 11 × 1 = 11. Dạng 2. Xác định số a có thuộc dãy số đã cho hay không? 1. Phương pháp - Xác định quy luật của dãy. - Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không? 2. Ví dụ Ví dụ 1.Em hãy cho biết: a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,. .. hay không? b) Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,. .. hay không? c) Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. ..? Giải thích tại sao? Bài giải a) Cả 2 số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì - Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50; - Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5. b) Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vì mọi số hạng của dãy khi chia cho đều dư 2 mà 1996: 3 thì dư 1. c) Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., vì - Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666: 2 = 333 là số lẻ. - Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3 - Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn mà 9999 là số lẻ. Ví dụ 2.Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,…… a) Dãy số được viết theo quy luật nào? b) Số 2009 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao? Bài giải a) Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: 2 = 2 × 1 Số hạng thứ 2: 4 = 2 × 2 Số hạng thứ 3: 6 = 2 × 3 … Số hạng thứ n: ? = 2 × n Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự của số hạng ấy. b) Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 2009 là số lẻ, nên số 2009 không phải là số hạng của dãy. Ví dụ3.Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2. Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không? Bài giải Ta nhận xét: 2,2 – 1 = 1,2 3,4 – 2,2 = 1,2 14,2 – 13 = 1,2 … Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều hơn số hạng liền trước nó là 1,2 đơn vị: – Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2. Ví dụ: (13 – 1) chia hết cho 1,2; (3,4 – 1) chia hết cho 1,2 Mà: (34,6 – 1) : 1,2 = 28 dư 0. Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên. Dạng 3. Tìm số hạng thứ n của dãy số 1. Phương pháp Công thức tổng quát: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách × (Số số hạng – 1) 2. Ví dụ Ví dụ 1.Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,… Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào? Bài giải Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là: 98 – 1 = 99 Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là 2 (3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2) Số hạng thứ 100 là 1 + 2 × (100 – 1) = 199 Ví dụ 2.Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật: a) 3, 8, 15, 24, 35,… b) 3, 24, 63, 120, 195,… Bài giải a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1 × 3, 2 × 4, 3 × 5, 4 × 6, 5 × 7,… Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100. Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100×102 = 10200. b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1×3, 4×6, 7×9, 10×12, 13×15,… Mỗi số hạng của dãy (2) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298. Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400. Dạng 4. Tính tổng của dãy số có quy luật cách đều 1. Phương pháp Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1 Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) × số số hạng có trong dãy : 2 2. Ví dụ Ví dụ 1.Tính giá trị của A biết: A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 2014. Bài giải Dãy số trên có số số hạng là: (2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng) Giá trị của A là: (2014 + 1) × 2014 : 2 = 2029105 Đáp số: 2029105 Ví dụ 2.Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013 ? Bài giải Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2013 - (50 – 1) × 2 = 1915 Tổng của 50 số lẻ cần tìm là (2013 + 1915) × 50 : 2 = 98200 Đáp số: 98200 Dạng 5. Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng 1. Phương pháp Chia dãy số thành: + Các số có 1 chữ sốÞsố chữ số = số số hạng × 1 + Các số có 2 chữ sốÞsố chữ số = số số hạng × 2 + Các số có 3 chữ sốÞsố chữ số = số số hạng × 3 …. 2. Ví dụ Ví dụ 1.Cho dãy số: 1, 2, 3,…….150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số? Bài giải Dãy số đã cho có: (9 – 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số. Có (99 – 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số. Có (150 – 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số. Vậy số chữ số cần dùng là: 9 + 90 × 2 + 51 × 3 = 342 chữ số Ví dụ 2.Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số. Bài giải Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có (9 – 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số Có: (99 – 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số Có: (234 – 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số Vậy người ta phải dùng số chữ số là: 9 x 1 + 90 x 2 + 135 x 3 = 594 chữ số Dạng 6. Tìm số số hạng khi biết số chữ số 1. Phương pháp 2. Ví dụ Ví dụ 1. Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Bài giải Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có 9 số có 1 chữ số; có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần số chữ số là 9 × 1 + 90 × 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là: 435 – 189 = 246 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được 246 : 3 = 82 số Số trang quyển sách đó là 99 + 82 = 181 (trang) Ví dụ 2. Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Bài giải 99 trang đầu cần dùng 9 × 1 + 90 × 2 = 189 chữ số. 999 trang đầu cần dùng: 9 × 1 + 90 × 2 + 900 × 3 = 2889 chữ số Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số là: 600 – 189 = 411 (chữ số) Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang. Vậy quyển sách có tất cả là: 99 + 137 = 236 trang. Dạng 7. Tìm chữ số thứ n của dãy 1. Phương pháp Xét những số c 2. Ví dụ Ví dụ 1.Cho dãy số 1, 2, 3,… Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào? Bài giải Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số Có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần 9 × 1 + 90 × 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là 200 – 189 = 11 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được: 11 : 3 = 3 số (dư 2 chữ số) Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến 99 + 3 = 102 Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103. Ví dụ 2.Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ….. Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào? Bài giải Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ số Có (98 – 10) : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ số Có (998 – 100) : 2 + 1 = 450 số có 3 chữ số Để viết các số này cần: 4 x 1 + 45 x 2 + 450 x 3 = 1444 chữ số Số chữ số còn lại là: 2010 – 1444 = 566 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được: 566 : 4 = 141 số (dư 2 chữ số) Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là: (141 – 1) x 2 + 1000 = 1280 Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,… a) Nêu quy luật của dãy. b) Số 31 có phải là số hạng của dãy không? c) Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao? Bài 2.Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ...; 2014 a) Tính tổng của dãy số trên? b) Tìm số hạng thứ 99 của dãy? c) Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao? Bài 3.Tìm trung bình cộng của các số có 3 chữ số. Bài 4.Tính tổng: 1 + 5 + 9 + 13 + … biết tổng trên có 100 số hạng. Bài 5. Cho dãy số: 1004, 1010, 1016, …, 2012. Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không? Bài 6.Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…, a) Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo. b) Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao? Bài 7. Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,…… Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không? Bài 8.Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,…… a) Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không? b) Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không? Bài 9. Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008 Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng. Bài 10. Tìm số số hạng của các dãy số sau: a) 1, 4, 7, 10, ……,1999. b) 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; … ; 108,9 ; 110,0. Bài 11. Xét dãy số: 100, 101, ………, 789. Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng? Bài 12. Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010? Bài 13. Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó ? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m. Bài 14. Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số Bài 15. Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Bài 16. Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là: a) 752 trang. b) 1251 trang. Bài 17. Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, … Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó. Bài 18. Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, … Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai? Tải xuống Xem thêm các dạng Toán lớp 5 hay có trong đề thi vào lớp 6 chọn lọc, hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước
Trang sau
Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số cực hay có lời giải
Trang trước
Trang sau
Quảng cáo
Cho phép thử T có không gian mẫu Ω và A là một biến cố liên quan với phép thử T. Để tính được xác suất của biến cố A ta cần xác định: + Số phần tử của không gian mẫu. + Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là |ΩA | ⇒ P(A)= |ΩA |/|Ω| Ví dụ 1: Bạn Mạnh chọn một số tự nhiên x bất kì thỏa mãn: 300< x< 1000. Tính xác suất bạn Mạnh chọn được số chia hết cho 5. A.139/699 B.176/349 C. 138/349 D.138/699 Hướng dẫn giải : Đáp án : A Gọi A là biến cố bạn Mạnh chọn được số chia hết cho 5. - Không gian mẫu: Ω= {301, 302, 303,...,999}. ⇒ Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω)= 699 - Các số tự nhiên x thỏa mãn 300 x∈ { 305;310; 315;...;995} ⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là: n( A) = 139 số Xác suất của biến cố A là: P(A)= 139/699 Ví dụ 2: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ. A.10/21 B.8/21 C.3/5 D.2/5 Hướng dẫn giải : Đáp án : A Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 9.8.7.6.5.4= 60480 . Gọi A là biến cố số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ. - Sáu chữ số 1; 3; 5; 2; 4; 6 lập được 6! số thỏa mãn. Tương tự như vậy đối với (1,3,5,2,4,8); ( 1,3,5,2,6,8); ( 1,3,5,4,6,8) . Như vậy với những số có 6 chữ số luôn có 1; 3; 5 thì có 6!.4 số thỏa mãn. - Tương tự với (1,3,7); (1,3,9); (1,5,7); (1,5,9); (1,7,9); (3,5,7); (3,5,9); (3,7,9); (5,7,9). Do đó; số kết quả thuận lợi cho A là: n(A)= 6!. 4.10= 28800. Xác suất cần tìm là P(A)= 28800/(60480 )= 10/21. Ví dụ 3: Cho X là tập hợp gồm 6 số tự nhiên lẻ và 4 số tự nhiên chẵn. Chọn ngẫu nhiên từ tập X ba số tự nhiên. Tính xác suất chọn được ba số tự nhiên có tích là một số chẵn. A.5/6 B.2/5 C.1/7 D.1/4 Hướng dẫn giải : Đáp án : A Gọi A là biến cố chọn được 3 số có tích là một số chẵn. - Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= - Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A: + Chọn 3 số tự nhiên chẵn có : + Chọn 2 số tự nhiên chẵn và 1 số tự nhiên lẻ có : + Chọn 1 số tự nhiên chẵn và 2 số tự nhiên lẻ có : Xác suất cần tìm là : Ví dụ 4: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. A.0,1 B.48/335 C.13/65 D.99/667 Hướng dẫn giải : Đáp án : D + Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố chọn 10 thẻ có 5 tấm thẻ mang số lẻ; 5 tấm thẻ mang số chẵn và có đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10. Ta tính số kết quả thuận lợi cho A. + Chọn 5 số lẻ có : + Có 3 số chia hết cho 10 là 10; 20; 30, chọn 1 số tự 3 số này có : + Chọn 4 số chẵn trong 12 số chẵn còn lại ( không tính 10,20,30) Xác suất cần tìm là: Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên có không quá hai chữ số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4. A.0,1 B.0,2 C.0,75 D 0,25 Hướng dẫn giải : Đáp án : D - Không gian mẫu là Ω = {0,1,2,...,99} ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 100 Gọi A là biến cố chọn được số tự nhiên có không quá hai chữ số và chia hết cho 4. Các kết quả thuận lợi cho A: ΩA = {0,4,8,...;96} ⇒ Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A)= 25 số Do đó xác suất của biến cố A là: P(A) = 25/100 = 1/4 Quảng cáo
Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là A.643/4500 B.1293/45000 C.1285/90000 D.19/45000 Hướng dẫn giải : Đáp án : A + Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: 9.104 ( chữ số hàng chục nghìn có 9 cách chọn; chữ số hàng nghìn; hàng trăm; hàng chục và hàng đơn vị có 10 cách chọn). ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 9.104. + Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là abcd1 Ta có: abcd1=10.abcd+1=3.abcd+7.abcd+1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi: 3.abcd+1⋮7 + Đặt 3.abcd+1=7h hay abcd=2h+ (h-1)/3 là số nguyên khi và chỉ khi h = 3t+1(t∈N). Khi đó: abcd=7t+2 ⇒1000≤7t+2≤9999 ⇔ (998/7) ≤ t ≤ (9997/7) mà t nguyên nên t∈ {143,144,..., 1428} có 1286 số. Suy ra số cách chọn t sao cho số abcd1 chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286 số. ⇒ n(A) = 1286 Vậy xác suất cần tìm P=1286/9000= 643/4500 Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ S .Xác suất chọn được số lớn hơn 2500 là A. P=13/68 B. P=55/68 C. P=68/81 D. P=13/81 Hướng dẫn giải : Đáp án : C Số có 4 chữ số có dạng abcd Số phần tử của không gian mẫu: n(S)=9.9.8.7=4536. Gọi A: “ tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt và lớn hơn 2500.” Trường Hợp 1: a>2 Chọn a: có 7 cách chọn. Chọn b: có 9 cách chọn. Chọn c: có 8 cách chọn. Chọn d: có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có:7.9.8.7=3528 . Trường Hợp 2: a=3; b>5 Chọn a: có 1 cách chọn. Chọn b: có 4 cách chọn. Chọn c: có 8cách chọn. Chọn d: có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.4.8.7=224(số). Trường Hợp 3: a=2; b=5; c>0 Chọn a: có 1 cách chọn. Chọn b: có1 cách chọn. Chọn c: có 7 cách chọn. Chọn d: có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.1.7.7=49(số). Trường Hợp 4: a=2; b=5; c=0 ;d>0 Chọn a: có 1 cách chọn. Chọn b: có 1 cách chọn. Chọn c: có 1 cách chọn. Chọn d: có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.1.1.7=7(số). Như vậy: n(A)=3528+224+49+7=3808 Xác suất biến cố A là: P(A)= 3508/4536= 68/81. Ví dụ 8: Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5}. Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau đươc lập từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S; tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu. A.1/5 B.23/25 C.2.25 D. tất cả sai Hướng dẫn giải : Đáp án : C - Gọi số cần tìm của tập S có dạng abc Khi đó : + Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn + Số cách chọn chữ số b có 5 cách chọn vì b≠a. + Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì c≠a; c≠b. Do đó tập S có 5.5.4=100 phần tử. Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là - Gọi X là biến cố Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu . Khi đó ta có các bộ số là 1b2 hoặc 2b4 thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có 4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu. Suy ra số phần tử của biến cố X là |Ωx|=8. Vậy xác suất cần tính P(X)=(|ΩX|)/(|Ω|)=8/100=2/25. Ví dụ 9: Gọi A là tập các số có 6 chữ số khác nhau được tạo ra từ các số . Từ A chọn ngẫu nhiên một số, xác suất số đó có số 3 và 4 đứng cạnh nhau là: A.8/25 B.4/15 C.4/25 D.2/15 Hướng dẫn giải : Đáp án : A Gọi số có 6 chữ số khác nhau được tạo ra từ các số {0,1,2,3,4,5} là Khi đó; a1 có 5 cách chọn; a2 có 5 cách chọn; a3có 4 cách chọn...a6 có 1 cách chọn ⇒Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 5.5.4.3.2.1= 6000 số. Gọi X là biến cố Số chọn ra là số có hai chữ số 3, 4 đứng cạnh nhau Vì hai số 3, 4 đứng cạnh nhau nên ta coi nó là một phần tử. Do đó, số cần tìm sẽ là số được lập từ tập hợp các chữ số 0, 1, 2, x, 5 với x=34 hoặc x=43. Gọi số có 5 chữ số được tạo từ 0,1,2,x,5 là abcde Có 4 cách chọn a; 4 cách chọn b; 3 cách chọn c; 2 cách chọn d và 1 cách chọn e. Hoán đổi vị trí của 34 và 43: 2 cách ⇒ số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 4.4.3.2.1.2= 192 . Vậy xác suất cần tính là P=192/600= 8/25. Ví dụ 10: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S; tính xác xuất để chọn được một số có 4 chữ số lẻ và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ? A.49/54 B.5/54 C.45/54 D.Tất cả sai Hướng dẫn giải : Đáp án : D Câu 1: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất để số được chọn có hai chữ số giống nhau. A.0,2 B.0,1 C.0,3 D.0,4 Đáp án : B Không gian mẫu là Ω = {10,11,12,...,99} ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 90 Các số có 2 chữ số giống nhau là 11,22,33,44..,88,99 ⇒ Có 9 số có hai chữ số giống nhau Do đó xác suất để số được chọn có hai chữ số giống nhau là: 9/90=0,1 Câu 2: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5. A.0,4 B.3/5 C.11/36 D.1/4 Đáp án : C + Ta tính số các số có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6: Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn có ⇒ có 6. số có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các số đã cho. Do đó; số phần tử của không gian mẫu là: 6. + Gọi B là biến cố số được chọn là số chia hết cho 5. + Gọi số chia hết cho 5 đó là abcd. Các kết quả thuận lợi cho biến cố B: Trường hợp 1: d = 0 chọn abc có cách chọn nên có cách chọn Trường hợp 2: d = 5 chọn a có 5 cách chọn, chọn bc có Suy ra; số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: n(B)=+5. = 220 Xác suất của biến cố B là: Câu 3: Chọn ngẫu nhiên 6 số nguyên dương trong tập{1;2;3..,10} và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Gọi P là xác suất để số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2. Khi đó P bằng: A.5/8 B.1/3 C.1/4 D. 3/5 Đáp án : B Số phần tử của không gian mẫu là ( chú ý: Khi chọn được 6 số thì chỉ có 1 cách duy nhất xếp 6số đó theo thứ tự tăng dần) Gọi A là biến cố: “số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2”. Trong tập đã cho có 2 số nhỏ hơn số 3, có 7 số lớn hơn số 3. + Chọn 1 số nhỏ hơn số 3 ở vị trí đầu có: 2 cách. + Chọn số 3 ở vị trí thứ hai có: 1 cách. + Chọn 4 số lớn hơn 3 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần có: Do đó n(A)=2.1.35=70. Vậy xác suất của biến cố A là: P(A)= 70/210= 1/3. Câu 4: Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lấy ra từ tập M một số bất kỳ. Tính xác suất để lấy được số có tổng các chữ số là số lẻ? A.2/5 B.16/35 C.3/7 D.4/9 Đáp án : B + Ta tính số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 Có A47 = 840 số ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 840. + Bốn chữ số 1; 2; 3; 5 lập được 4! = 24 số có 4 chữ số và có tổng các chữ số là số lẻ. Tương tự như vậy đối với: Xác suất cần tìm là: P= 24.16/840= 16/35 . Câu 5: Cho tập hợp A= {1,2,3,4,5}. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng A.1/2 B.1/3 C.2/3 D.1/6 Đáp án : B Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde. + Sắp chữ số 3 vào ba vị trí, có + Còn lại hai vị trí, chọn 2 số trong 4 số {1,2,4,5}xếp vào hai vị trí đó, có Do đó tập S có 10.12= 120 phần tử. ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 120 Gọi A là biến cố số được chọn chia hết cho 3. Các trường hợp thuận lợi cho biến cố A: + Hai chữ số còn lại là 1 và 2, có .2!=20 số. + Tương tự cho các trường hợp 1 và 5; 2 và 4; 4 và 5. ⇒ Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A: n(A)= 20+ 20+ 20+ 20 = 80 Xác suất của biến cố A là: P(A) = 80/120= 1/3 Câu 6: Cho tập hợp A= {0,1,2,3,4,5,6}. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ A, xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng? A.1/4 B.2/9 C.9/26 D.11/26 Đáp án : C Gọi số thuộc tập S có dạng abcde Ta có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5, bốn chữ số còn lại có Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên, khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5, ba chữ số còn lại có Do đó tập S có 5-4=1560 phần tử. ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 1560 - Gọi B là biến cố chọn ngẫu nhiên một số từ A và số đó chia hết cho 5. Các kết quả thuận lợi cho A: + e = 0. Khi đó a có 4 cách chọn vị trí cho số 5, ba số còn lại có cách nên có 4. số. + e = 5. Khi đó a có 5 cách chọn; b,c,d có cách chọn nên có 5. số. ⇒ Số các kết quả thuận lợi cho B là: n(B)= 4+5. ⇒ P(B)= Câu 7: Cho tập hợp A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, xác suất để số được chọn chia hết cho 6 bằng: A.1/9 B.4/9 C.4/27 D.9/28 Đáp án : C Tập S có 94 phần tử. ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 94. Gọi B là biến cố chọn được số chia hết cho 6. Gọi số thỏa mãn biến cố là abcd, Do abcd⋮6 nên abcd⋮2 Suy ra d∈ {2,4,6,8} có 4 cách chọn d. Khi đó; a và b có 92 cách chọn. + Nếu a + b + d= 3k ⇒ c∈ {3,6,9} nên c có 3 cách chọn. + Nếu a+ b + d= 3k+ 1 ⇒ c ∈ { 2,5,8}nên c có 3 cách chọn. + Nếu a+ b+ d= 3k+2 ⇒c ∈ { 1,4,7}nên c có 3 cách chọn. Vậy c luôn luôn có 3 cách chọn nên n(B)= 4.92.3= 972 Xác suất của biến cố B là: P(B)= 972/94 = 4/27 Câu 8: Gọi tập A là tập các số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các số {1,2,3,4,5,6}. Từ A chọn ra một số, xác suất số đó bé hơn 432 000 là: A.17/30 B.17/40 C.23/40 D.13/30 Đáp án : C Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 6!= 720. Gọi X là biến cố Số chọn ra bé hơn 432 000 Gọi số cần tìm có dạng abcdef, vì abcdef < 432 000 nên ta xét các trường hợp: Trường Hợp 1. Nếu a∈ {1,2,3} và sắp xếp 5 số còn lại vào 5 vị trí nên có 3.5! = 360 số. Trường Hợp 2. Nếu a = 4, ta đi xét hai trường hợp: + b= 3 thì c= 1 suy ra có 3!= 6 số. + b<3 ⇒ b∈ {1,2} và sắp xếp 4 số còn lại vào 4 vị trí nên có 2.4!= 48 số. Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 360+ 6+ 48= 414. Vậy xác suất cần tính là P= 414/720= 23/40 Câu 9: Cho tập A={2;3;4;5;6;7;8}. Gọi S là tập hợp tất cả các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn mà trong mỗi số luôn có mặt 2 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? A.0,2 B.3/35 C.6/35 D.18/35 Đáp án : D Số phần tử của tập S là Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Gọi X là biến cố Số được chọn luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ . + Số cách chọn hai chữ số chẵn từ bốn chữ số 2;4;6;8 là + Số cách chọn hai chữ số lẻ từ ba chữ s 3;5;7 là + Từ bốn chữ số được chọn ta lập số có bốn chữ số khác nhau, số cách lập tương ứng với một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách. Suy ra số phần tử của biến cố X là Vậy xác suất cần tính : Câu 10: Cho tập A={1;2;3;4;5}; gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số tập A. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S; tính xác xuất để số dược chọn chia hết cho 10? A.1/30 B.3/25 C.22/25 D. Tất cả sai Đáp án : B Ta tính số phần tử thuộc tập S như sau: + Số các số thuộc S có 3 chữ số là + Số các số thuộc S có 4 chữ số là + Số các số thuộc S có 5 chữ số là Suy ra số phần tử của tập S là Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là Gọi X là biến cố Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 . Các tập con của A có tổng số phần tử bằng 10 là A1={1;2;3;4}, A2={2;3;5},. + Từ A1 lập được các số thuộc S là 4! + Từ A2 lập được các số thuộc S là3!. + Từ A3 lập được các số thuộc S là 3!. Suy ra số phần tử của biến cố X là |Ωx|=4!+3!+3!=36 Vậy xác suất cần tính Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước
Trang sau
Các bài toán hình về diện tíchChia sẻ nếu thấy tài liệu này có ích! Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏitoán 4,toán 5phần các bài toán về dãy số rất đa dạng và phong phú. Các bài toán đòi hỏi học sinh phải vận dụng một cách linh hoạt, phải biết các công thức về tính số các số hạng, tính tổng, tìm số hạng thứ n hay một số quy luật thường gặp trong bài toán có quy luật…..Dưới đây hệ thống giáo dục trực tuyến vinastudy.vn xin giới thiệu một vài ví dụ cho thấy sự vận dụng kiến thức cơ bản của dạng toán một cách linh hoạt trong từng bài toán cụ thể. Mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo ! A-Dãy số cách đều 1-Công thức cần nhớ trong bài toán dãy số cách đều: Tính số các số hạng có trong dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1 Tính tổng của dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy)xsố số hạng có trong dãy : 2 2-Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết: A = 1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 2014. Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, cần tính giá trị của A theo công thức tính tổng của dãy số cách đều. Bài giải Dãy số trên có số số hạng là: (2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng) Giá trị của A là: (2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105 Đáp số: 2029105 Ví dụ 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ............... Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên ? Phân tích: Từ công thức tính số các số hạng trong dãy cách đều suy ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1)xkhoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy. Bài giải Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là: (2014 – 1) x 2 + 2 = 4028 Đáp số:4028 Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013 ? Phân tích: Từ công thức tính số các số hạng trong dãy cách đều suy ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất - (Số số hạng trong dãy – 1)xkhoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán. Bài giải Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2013 - (50 – 1) x 2 = 1915 Tổng của 50 số lẻ cần tìm là (2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200 Đáp số: 98200 Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ? Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ đó sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Sau đó chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó. Bài giải Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là: (15 - 1) x 2 = 28 Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 x 2 : 15 = 122 Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là: (122 - 28) : 2 = 47 Đáp số: 47 3-Các dạng bài cụ thể: Dạng 1. Tìm số số hạng của dãy số: Bài tập vận dụng: Bài 1:Viết các số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối cùng là 971. Hỏi viết được bao nhiêu số? Giải: Bài 2:Cho dãy số 11, 14, 17,. .., 68. Giải: Bài 3:Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4? Giải: Dạng 2. Tìm tổng các số hạng của dãy số: Bài tập vận dụng: Bài 1:Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên. Giải: Bài 2:Viết các số chẵn liên tiếp: Giải: Dạng 3. Tìm số hạng thứ n: Bài tập vận dụng: Bài 1:Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,... Giải: Bài 2:Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2001. Số đầu tiên là số nào? Giải: Dạng 4. Tìm số chữ số biết số số hạng Ghi nhớ: Bài tập vận dụng: Bài 1:Cho dãy số 1, 2, 3, 4,. .., 150. Giải: Bài 2:Viết các số chẵn liên tiếp tữ 2 đến 1998 thì phải viết bao nhiêu chữ số? Giải: Dạng 5. Tìm số số hạng biết số chữ số Bài tập vận dụng: Bài 1:Một quyển sách coc 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải: Bài 2:Viết các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ số 87. Hỏi nếu phải viết tất cả 3156 chữ số thì viết đến số nào? Giải: ----------------------- Bài 1:Tính tổng: Bài 6:Viết 25 số lẻ liên tiếp số cuối cùng là 2001. Hỏi số đầu tiên là số nào? Bài 8:Dãy số lẻ từ 9 đến 1999 có bao nhiêu chữ số B - QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ: 1- Kiến thức cần lưu ý (cách giải): Loại 1:Dãy số cách đều: Bài 1: Giải: Loại 2:Dãy số khác: Bài 1: Giải: Bài 2: Giải: Bài 3:Lúc 7 giờ sáng, Một người xuất phát từ A, đi xe đạp về B. Đến 11 giờ trưa người đó dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, sau đó lại đi tiếp và 3 giờ chiều thì về đến B. Do ngược gió, cho nen tốc độ của người đó sau mỗi giờ lại giảm đi 2 km. Tìm tốc độ của người đó khi xuất phát, biết rằng tốc đọ đi trong tiếng cuối quãng đường là 10 km/ giờ ? Giải: Loại 3: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không: Bài tập: Giải: Bài 1:Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau: ------HẾT------ Trong quá trình làm tài liệu có sưu tầm trên internet. Hệ thống giáo dục vinastudy.vn Chúc con học tốt ! |
