Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị cực hay có lời giải
Cho tập hợp X gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử, ta có công thức:
Pn = n!
Với những bài toán cấu tạo số ta cần chú ý:
• Số chẵn là số chia hết cho 2 và chữ số hàng đơn vị là: 0; 2; 4; 6; 8.
• Số lẻ là số có chữ số hàng đơn vị là: 1; 3; 5; 7; 9.
• Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.
• Một số chia hết cho 10 nếu chữ số hàng đơn vị là 0.
• Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.
• Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.
• Một số chia hết cho 4 nếu hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4.
Ví dụ 1 : Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số 1,4, 5; 8; 9?
A.20 B.120 C.60 D.15
Đáp án : B
Mỗi cách lập số có 5 chữ số thỏa mãn đầu bài là một hoán vị của tập {1; 4; 5; 8; 9}.
⇒ Số có 5 chữ số khác nhau tạo thành từ tập trên là:
P5 = 5!= 120 cách .
Ví dụ 2 : Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 6; 7. Từ 5 chữ số này, ta lập các số chẵn có 5 chữ số khác nhau. Số các số có thể lập được là:
A.96 B.36 C.32 D.48
Đáp án :
Giả sử thỏa mãn đầu bài là a1a2a3a4a5.
+ Chọn a5 có 2 cách: a5∈ {2; 6}.
+ Mỗi cách chọn a1a2a3a4 là một hoán vị của tập {1;2;3; 6; 7}\ {a5}có 4 phần tử.
⇒ Số cách chọn a1a2a3a4 là 4!.
+ Theo quy tắc nhân có 2. 4!= 48 số thỏa mãn.
Ví dụ 3 : Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 7, 8 . Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số trên?
A.120 B.96 C.24 D.28
Đáp án : B
Gọi số cần tìm có dạng abcde, khi đó
+ Có 4 cách chọn chữ số a [trừ chữ số 0].
+ Số cách chọn bcde là 4! [ sau khi chọn a ta còn 4 số còn lại]
Vậy có tất cả 4.4! = 96 số cần tìm.
Ví dụ 4 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9?
A.16 B.18 C.20 D.14
Đáp án : A
Gọi số cần tìm có dạng [abc] ̅ với a;b;c∈{0;1;2;3;4;5}.
Vì số cần tìm chia hết cho 9 nên suy ra tổng các chữ số: [ a+b+c]⋮9.
Khi đó a; b; c∈{ [ 0;4;5];[ 2;3;4];[ 1;3;5]}.
Trường hợp 1 :
Với a; b; c∈[0;4;5]
Ta có 2 cách chọn a [ vì a khác 0] . Khi đó ta có 2 cách chọn b và 1 cách chọn c.
suy ra có 2.2.1 = 4 số thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 2 :
Với a;b;c∈[2;3;4] suy ra có 3! = 6 số thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 3 :
Với a; b; c∈[ 1;3; 5] suy ra có 3! = 6 số thỏa mãn yêu cầu.
Vậy có thể lập được: 4+ 6+6= 16 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 5 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
A.410 B.480 C.500 D.512
Đáp án : B
Từ 6 số đã cho ta lập được: 6!= 720 số có 6 chữ số khác nhau.
Giả sử hai số 1 và 2 đứng cạnh nhau. Ta coi hai số này là một phần tử X.
+ Hoán đổi vị trí của hai số này ta có: 2!= 2 cách.
+ Xếp phần tử X và 4 số còn lại vào 5 vị trí ta có: 5!= 120 cách.
⇒ có 2. 120 = 240 cách sao cho hai số 1 và 2 đứng cạnh nhau.
Suy ra: có 720- 240 = 480 số thỏa mãn đầu bài.
Ví dụ 6 : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
A.96 B.98 C.196 D.192
Đáp án : D
+ Ta coi hai chữ số 2 và 3 là phần tử x. Xét các số: abcde trong đó a; b; c; d; e đôi một khác nhau và thuộc tập {0; 1; x; 4; 5}.
+ Vì a khác 0 nên có 4 cách chọn a.
Với mỗi cách chọn a; ta có: 4! Cách chọn bcde
⇒ Có 4. 4!= 96 số thỏa mãn điều kiện trên .
+ Khi ta hoán đổi vị trí của 2; 3 trong x ta được hai số khác nhau.
Suy ra: có 96. 2= 192 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 7 : Từ các chữ số {0, 2, 3,8,9} lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?
A.168 B.184 C.214 D.254
Đáp án : A
Gọi số có 5 chữ số thỏa mãn là abcde.
+ vì a≠0 nên có 7 cách chọn a.
+ Số cách chọn bcde là số các hoán vị của 4 phần tử còn lại. Nên số cách chọn bcde là 4!.
⇒ số các số thỏa mãn là: 7. 4!= 168 số
Ví dụ 8 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,7,8 lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 luôn đứng chính giữa.
A.5040 B.2520 C.720 D.1440
Đáp án : C
+ Gọi số có 7 chữ số thỏa mãn là abc1def
+ Số cách chọn [a,b,c,d,e,f] là số các hoán vị của tập có 6 phần tử
⇒ số các số có 7 chữ số thỏa mãn đầu bài là: 6!= 720
Câu 1 : Cho tập x = {1;2;3;4;5;6;7;8} .Từ tập X ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.
A.50480 B.36060 C.20840 D.40320
Đáp án : D
Số các số tự nhiên được lập từ tập X đôi một khác nhau là một hoán vị của 8 phần tử. Do đó số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là 8!=40320 số.Câu 2 : Cho tập X= { 1; 2; 3; 4;6; 7; 8; 9}. Từ tập X ta có thể lập được bao nhiêu số chẵn và có 8 chữ số khác nhau?
A.2016 B.10860 C.20160 D.Đáp án khác
Đáp án : C
Gọi số cần lập là n=a1a2a3...a8
Do n chẵn nên a8 ≠ {2;4;6;8} có 4 cách chọn a8.
Khi đó số cách chọn a1a2a3...a7 là một hoán vị của 7 phần tử còn lại. Do đó; số cách chọn a1a2a3...a7 là 7!.
Theo quy tắc nhân có 4.7!=20160 số thỏa mãn.
Câu 3 : Cho tập A= {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Hỏi từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 8 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?
A.12980 B.15120 C.21980 D.16820
Đáp án : B
Gọi số cần lập là n=a1a2a3...a8
Do n lẻ và không chia hết cho 5 nên a8≠{3;7;9} có 3 cách chọn a8.
Khi đó số cách chọn a1a2a3...a7 là một hoán vị của 7 phần tử còn lại. Do đó; số cách chọn a1a2a3...a7 là 7!.
Theo quy tắc nhân có 3.7!=15120 số thỏa mãn.
Câu 4 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số 1 ?
A.720 B.120 C.600 D.144
Đáp án : C
Số các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập được từ các chữ số đã cho là 6!.
Số các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt mà bắt đầu bằng chữ số 1 bằng số cách sắp xếp 5 chữ số 2, 3, 4, 5, 6 vào 5 vị trí sau là 5!.
Vậy số các số tự nhiên cần tìm là: 6! – 5!= 600
Câu 5 : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau?
A.600 B.720 C.480 D.360
Đáp án : A
Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn là: n=a1a2...a6
+ Có 5 cách chọn a1.
+ Số cách chọn n=a2a3...a6 là số hoán vị của tập 5 phần tử. Nên số cách chọn : n=a2a3...a6 là 5!.
Theo quy tắc nhân; có 5.5!= 600 số thỏa mãn.
Câu 6 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 6, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2?
A.240 B.480 C.960 D.1440
Đáp án : B
Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: : n=a1a2...a6.
+ Do số này chia hết cho 2 nên a6≠ {2;4;6;8} có 4 cách chọn.
+ Sau khi chọn a6; số cách chọn : n=a1a2...a5 là số các hoán vị của tập 5 phần tử . Nên số cách chọn : n=a1a2...a5 là 5!
⇒ Số các số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn đầu bài là: 4.5! = 480
Câu 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
A.98 B.114 C.208 D.216
Đáp án : D
Gọi số có 6 chữ số thỏa mãn đầu bài là: : n=a1a2...a6.
Trường hợp 1. Nếu a6 = 0.
Khi đó số cách chọn : n=a1a2...a5 là số các hoán vị của tập có 5 phần tử
⇒ số các số có 5 chữ số thỏa mãn trường hợp này là: 5!= 120
Trường hợp 2. Nếu a6 = 5.
Khi đó có 4 cách chọn a1 và có 4! Cách chọn n=a2a3a4a5
⇒ trường hợp 2 có 4.4!= 96 số thỏa mãn.
Kết hợp hai trường hợp có tất cả: 120+ 96= 216 số thỏa mãn.
Câu 8 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập bằng cách dùng 7 chữ số 1;2;3;4;5;7;9 sao cho hai chữ số chẵn không liền nhau?
A.3600 B.1440 C.2880 D.5040
Đáp án : A
- Từ 7 số đã cho ta lập được: 7!= 5040 số có 7 chữ số đôi một khác nhau .
- Ta tính số các số có 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số đã cho sao cho hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau..
+ Coi hai số chẵn 2 và 4 là một phần tử X.
+ Từ phần tử X và 5 số còn lại ta lập được 6! Số có 6 chữ số.
+ Hoán đổi vị trí của hai số 2 và 4 ta có: 2! Cách
⇒ có 6! .2!= 1440 số có 7 chữ số khác nhau đôi một sao cho hai chữ số 2; 4 liền nhau.
Suy ra: có 5040 – 1440= 3600 số thỏa mãn đầu bài.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
1. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều
Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:
- Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:
Số số hạng = [[số cuối – số đầu]:[khoảng cách]] 1
-Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:
Tổng = [[số đầu số cuối].[số số hạng]]:2
* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39
° Hướng dẫn:
-Số số hạng của S là: [39-1]:2+1 = 19+1 = 20. S = [20.[39+1]]:2 = 10.40 = 400.
* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59
° Hướng dẫn:
-Số số hạng của S là:[59-2]:3+1 = 19+1 = 20. S = [20.[59+2]]:2 = 10.61 = 610.