Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để phương trình 3cosx a 1 = 0 có nghiệm

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

+ Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 [ với a ≠ 0] có nghiệm nếu:

- 1 ≤ sinx[ hoặc cosx] ≤ 1.

+Xét phương trình a.sin2 x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos2 x+ b. cosx+ c= 0 [ với a ≠ 0] :

Đặt sinx= t [ hoặc cosx = t] phương trình đã cho trở thành:

at2 + bt + c= 0 [*]

để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình [*] có nghiệm t0 và -1 ≤ t0 ≤ 1

Ví dụ 1. Cho phương trình 2sinx+ cos900 = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. - 2 ≤ m ≤ 2

B. - 1 ≤ m ≤ 1

C. - 4 ≤ m ≤ 4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2sinx+ cos900= m

⇒ 2sinx + 0= m

⇒ sinx= m/2 [*]

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ m/2 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ m ≤ 2

Chọn A.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:

A. 2

B.4

C. 3

D.1

Lơì giải

Ta có:

⇒ sinx - 2sinx = m

⇒ - sinx = m ⇒ sinx= - m

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ -m ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

⇒ m∈{ -1;0;1}

Chọn C.

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2x -2[m-1]sinxcosx-[m-1]cos2x=m có nghiệm?

A.0≤m≤1

B.m > 1

C.0 < m < 1

D.m≤0

Lời giải

Ta có: sin2 x- 2[m -1] sinx. cosx – [ m – 1] cos2 x= m

Ta có:

⇒ 1- cos2x -2 [m- 1] .sin2x- [ m- 1] . [ 1 + cos2x] = 2m

⇒ 1- cos2x -2[m-1]sin2x – m+ 1 – [m-1].cos2x – 2m= 0

⇒ -2[m -1] sin2x – mcos2x= 3m - 2

Phương trình có nghiệm

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 4. Để phương trình: sin2 x+2[m+1].sinx – 3m[m-2]= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Đặt t = sinx.

Điều kiện .

Phương trình trở thành: t2 + 2[m+1].t – 3m[m- 2]= 0 [1].

Đặt f[t] = t2 + 2[m+1]t – 3m[m- 2].

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [-1;1] khi phương trình [1] có một nghiệm thuộc [-1;1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1;1]

Chọn B.

Ví dụ 5: Để phương trình

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Phương trình [1] trở thành 3t2+ 4at – 4= 0 [2].

Để phương trình [1] có nghiệm thì phương trình [2] phải có nghiệm trong đoạn .

Xét phương trình [2], ta có:

nên [2] luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho phương trình cos6 x + sin6 x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1/4 ≤ m ≤ 1

B. 1/2 ≤ m ≤ 1

C. 1/2 ≤ m ≤ 2

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos6 x + sin6 x= m

⇒ [cos2 x+ sin2 x] . [cos4 x – cos2x. sin2 x+ sin4 x] =m

⇒ 1.[ [cos2x+ sin2 x]2 – 3.cos2 x. sin2 x= m

Với mõi ta a luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin2 2x ≤ 1

Do đó; để phương trình đã cho co nghiệm khi và chỉ khi phương trình [*] có nghiệm

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho phương trình: 4[sin4 x + cos4 x ] -8[sin6 x + cos6 x] -4sin2 4x = m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có:

+ Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm.

[1] có nghiệm thì [2] phải có nghiệm thoả t0 thuộc [-1;1] .

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho phương trình cos[x-300] + sin[ x+ 600]= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 1 ≤ m ≤ 1

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos[x- 300] - sin[x+ 600] + sinx = m

⇒ cosx . cos300+ sinx. sin300 - sinx. cos600 - cosx. sin600 + sinx= m

⇒ sinx= m [*]

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình [*] có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

Chọn C.

Câu 1:Cho phương trình: cosx. sinx – 2m– 2sinx+ m.cosx= 0.Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 2 ≤ m ≤ 1

D. -1 ≤ m ≤ 1

Câu 2:Cho phương trình cos2x+ 4cosx+ m= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -7 ≤ m ≤ 1

B. -5 ≤ m ≤ 2

C. – 6 ≤ m ≤ 2

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Câu 3:Cho phương trình cos[ x+ y] – cos[ x-y] = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A. -3 ≤ m ≤ 1

B. -2 ≤ m ≤ 2

C. – 3 ≤ m ≤ 1

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Câu 4:Cho phương trình sin6 x- cos6 x + cos2x= m. Biết rằng khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a+ b

A. – 2

B. -1

C. 0

D. 1

Câu 5:Cho phương trình:

A.

B.

C.

D.

Câu 6:Cho phương trình cos[ 900- x]+ sin[ 1800- x] + sinx= 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 3

B. 4

C. 2

D .5

Câu 7:Cho phương trình: sin2 x+ [m-1] sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.

A.m > 2

B. m < 1

C. 1 < m < 10

D.Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Câu 8:Cho phương trình sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x=m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -3√2 ≤ m ≤ 3√2

B. 3- √2 ≤ m ≤ √2+3

C. 2- √2 ≤ m ≤ √2+2

D. -2√2 ≤ m ≤ 2√2

Câu 9:Để phương trình

A. -1 ≤ m < -1/4

B. -2 ≤ m ≤ -1

C.0 ≤ m ≤ 2

D.[- 1]/4 ≤ m ≤ 0

Câu 10:Để phương trình:

A.- 1 ≤ a ≤ 0 .

B. - 2 ≤ a ≤ 2.

C. - 1/2 ≤ m ≤ 1/4.

D. - 2 ≤ m ≤ 0

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm

+ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx có dạng: a. sinx+ bcosx = c

Trong đó: a, b và c là hằng số.

+ Cách giải phương trình:

• Cách 1:

• Cách 2:

* Chú ý:

+ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

+ Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là a2 + b2 ≥ c2

+ Bất đẳng thức bunhia-xcopski:

Ví dụ 1. Cho phương trình a. sinx+ b cosx= c .Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là:

A. a2 + b2 > c2

B. a2 + b2 < c2

C. a2+ b2 ≥ c2

D. a2+ b2 ≤ c2

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho các phương trình sau:

[I]. 2cosx + 4= 0

[II]. – 4sinx =1

[III]. 2cosx – sinx= 2

[IV]. sin2 x + 2sinx – 3= 0

[V] . 7sinx+ 14.sinx.cosx=0

Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a. sinx+ b. cosx= c [ trong đó a khác 0 hoặc b khác 0]

Ta xét các phương trình :

+[I]: 2cosx+ 4= 0 ⇒ 2cosx = - 4 có a= 0; b=2 và c=- 4

⇒ [I] có là phương trình bậc nhất đối sinx và cosx.

+ [II]. – 4sinx = 1 có a= -4; b= 0 và c= 1

⇒ [II] có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

+ [III]. 2cos x- sinx= 2 có a= -1; b= 2 và c= 2

⇒ [III] có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

+ [IV]. sin2 x + 2sinx – 3= 0 không có dạng:a. sinx+ b. cosx = c [với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0]

⇒ [IV] không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

[V] . 7sinx+ 14.sinx.cosx=0 ⇒ 7sinx[1+ 2cosx] = 0

Phương trình trên không có dạng: a.sinx + b.cosx= c nên [V] không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho các phương trình sau:

[1]. 3cosx+2 = 0

[2]. 4- 2sinx= 0

[3]. – 2sinx+ cosx= 3

[4]. cos2x- sinx = 0

[5].cosx- sin3x. sinx= 0

[6].sin2x – sinx. cosx+ 2cos2 x= 0

Hỏi trong các phương trình trên có bao nhiêu phương trình đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

A. 2 B. 4 C. 3 D. 5

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a.sinx+ b cosx= c [ với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0]

Trong các phương trình đã cho có các phương trình : [1]; [2]; [3] đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho các phương trình:

[I]. 2sinx- 3cos x= 1

[II].4sinx + 5cos x=10.

[III]. - 3sinx – 2cosx= 3

[IV] . – 5sinx + cosx= 3

Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.

A. 1 B.2 C. 3 D.4

Lời giải

+ Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx; cosx và có dạng:

a. sinx+ b. cosx = c

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2

+ Ta xét các phương án :

[I]. 2sinx- 3cos x= 1 có a= 2; b=- 3; c= 1

⇒ a2 + b2 ≥ c2 [ 13 ≥ 1]

⇒ [I] là phương trình có nghiệm.

[II].4sinx + 5cos x=10 có a= 4; b= 5; c= 10

⇒ a2 + b2 < c2 [41 < 100]

⇒ [II] là phương trình vô nghiệm

[III]. - 3sinx – 2cosx= 3 có a= - 3; b= - 2 và c= 3

⇒ a2 + b2 ≥ c2 [ 13 ≥ 9]

⇒ [III] là phương trình có nghiệm

[IV] . – 5sinx + cosx= 3 có a= - 5; b= 1 và c= 3

⇒ a2 + b2 ≥ c2 [ 26 ≥ 9]

⇒ [IV] có nghiệm

Vậy có 3 phương trình có nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho các phương trình sau:

[1].2sinx - √3 cosx= √5

[2]. - √5sin2x + cos2x = 5

[3].√7 cosx= 3

[4]. 3√2 sinx= -4

Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?

A. 0 B.2 C. 1 D.3

Lời giải

Các phương trình trên đều có dạng: a.sinx+ b. cosx= c [ với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ]

Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x có nghiệm là:

a2 + b2 ≥ c2

⇒ Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx vô nghiệm là:

a2+ b2 < c2

+ Ta xét các phương trình:

[1]: 2sinx - √3 cosx= √5 có a= 2; b= -√3 và c= √5

⇒ a2 + b2 > c2 [7 > 5]

⇒ Phương trình này có nghiệm

[2]. - √5sin2x + cos2x = 5 có a= -√5;b=1;c=5

⇒ a2 + b2 < c2 [ vì 6 < 25]

⇒ phương trình [2] vô nghiệm.

[3]. √7 cosx= 3 có a= 0; b= √7 và c= 3

⇒ a2 + b2 < c2 [ vì 7 < 9]

⇒ Phương trình [3] vô nghiệm

[4]. 3√2 sinx= -4 có a= 3√2; b=0 và c = -4

⇒ a2 + b2 > c2 [ vì 18 > 16]

⇒ Phương trình [4] có nghiệm

Vậy chỉ có phương trình [2] và [3] vô nghiệm

Chọn B.

Ví dụ 6. Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A.2sinx- 10 cosx = 12

B. – sinx+ cosx= - 1

C. 2sinx= 2

D. –10 cosx+ 1=0

Lời giải

Xét phương án A: có a= 2; b= -10 và c= 12

⇒ a2 + b2 < c2 [104 < 144]

⇒ Phương trình này vô nghiệm.

Chọn A.

Ví dụ 7: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. √3 sinx+cosx=2.

B.√2 sin2x- √2 cos2x=-2.

C.

D.

Lời giải

+ Các phương trình ở đáp án A, B, D đều có dạng A. Sinax+ B.cosax = C và A2+B2 ≥ C2 nên các phương trình này đều có nghiệm.

+Phương trình ở đáp án C có dạng cos[x+a]= m với m= 2π/3 > 1 nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 8. Cho phương trình m.sinx+ cosx= 2. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?

A.

B.

C. -√3 ≤ m ≤ √3

D. -√2 ≤ m ≤ √2

Lời giải

Phương trình: m.sinx+ cosx=2 có nghiệm khi và chỉ khi:

m2+ 12 ≥ 22

⇒ m2 + 1 ≥ 4 ⇒ m2 ≥ 3

Chọn A.

Ví dụ 9. Cho phương trình: m.sinx+ [m-2].cosx= √2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?

A. 1 ≤ m ≤ 3

B. m ≤ 2;m ≥ 3

C.m > 2; m < 3

D. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải

Phương trình: m.sinx+ [m-2].cosx= √2 có nghiệm khi và chỉ khi:

m2+ [m-2]2 ≥ [√2]2

⇒ m2+m2 - 4m+4 ≥ 2 ⇒ 2m2 – 4m+ 2 ≥ 0

⇒ 2[m-1]2 ≥ 0 luôn đúng với mọi m.

⇒ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn D.

Ví dụ 10. Cho phương trình sinx+ [m-1]cosx= 2m- 1. Tìm điều kiện của m để phương trình trên vô nghiệm.

A.

B.

C. – 1 < m < 2

D. - 2 ≤ m ≤ 1

Lời giải

Phương trình: sinx+ [m-1]cosx = 2m- 1 vô nghiệm khi và chỉ khi:

12 +[m-1]2 < [2m- 1]2

⇒ 1+ m2 – 2m+ 1 < 4m2 - 4m+ 1

⇒ -3m2 + 2m +1 < 0

Chọn A .

Ví dụ 11. Cho phương trình: [m-1].sinx+ cosx= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho vô nghiệm

A. m > 2

B. m < 2

C. m > 1

D. 1 < m < 2

Lời giải

Để phương trình: [m- 1]. sinx+ cosx= m vô nghiệm thì:

[m-1]2 +12 < m2

⇒ m2 -2m+ 1 + 12 < m2

⇒ 2-2m < 0 ⇒ m > 1.

Chọn C.

Ví dụ 13: Cho phương trình:

A.

B.

C. Không có giá trị nào của m.

D. m ≥ 3

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 14: Tìm m để phương trình: 2sin2 x+ m. sin2x = 2m vô nghiệm.

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 2sin2 x + m. sin2x = 2m

⇒ 1- cos2x + m. sin 2x= 2m

⇒ m.sin 2x – cos2x = 2m- 1

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

Chọn D.

Câu 1:Cho các phương trình sau:

[I]. – 4sinx + 2= 0

[II]. 10cosx = 0

[III]. – 4cosx + 2sinx= 1

[IV]. 2sin2 x - 12sinx + 9= 0

[V] . -2sinx - 2.sinx.cosx=0

Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Câu 2:Tìm phương trình không phải là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

A. sinx + cosx= 0

B. – 10sinx = 0

C. 8- cosx =0

D. 2sin2x + cosx = 1

Câu 3:Cho các phương trình:

[I]. 10sinx- cos x= 2

[II]. - 3sinx = 2.

[III]. 2sinx - 6cosx= 8

[IV] . 2cosx= 3

Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.

A. 1

B.2

C. 3

D.4

Câu 4:Cho các phương trình sau:

[1].- sinx + 2√3 cosx= √15

[2]. √5sin2x + 3cos2x = - 5

[3].√15 cosx= 4

[4]. -2√2 sinx= 1

Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?

A. 0

B.2

C. 1

D.3

Câu 5:Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A. - 4sinx + 4 cosx = 4

B. – sinx + 10cosx= 11

C. -100sinx= 50

D. 48cosx+ 1=0

Câu 6:Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. √2 sinx-√2 cosx=2.

B.√19 sin3x- 9cos3x=9.

C. cos[x-π/3]= 3π

D. cos[ x-100] + 2sin[x-100] = 1

Câu 7:Cho phương trình 2sinx+m.cosx= 3. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?

A.

B.

C. -√3 ≤ m ≤ √3

D. -√5 ≤ m ≤ √5

Câu 8:Cho phương trình: 2m.sinx+ [m+ 1].cosx = 2√2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?

A.

B. m ≤ 2;m ≥ 3

C.

D. 2 ≤ m ≤ 3

Câu 9:Câu 9. Cho phương trình sinx- 3mcosx= 3m. Tìm điều kiện của m để phương trình trên vô nghiệm.

A.

B.

C. – 2 < m < 1

D. Đáp án khác

Câu 10:Câu 10. Cho phương trình: 2sinx+ [2-m] cosx= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho vô nghiệm

A. m < 2

B. m > 2

C. m > 1

D. 1 < m < 2

Câu 11:Cho phương trình: 2m.sin2x – [m2 + 2].cos2 x+ 1= 0. Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là

A. m > 1 hoặc m < -2

B.- 2 ≤ m

C.- 1 ≤ m ≤ 2

D.

Câu 12:Tìm m để phương trình: sinx .cosx+ cos2 x=m có nghiệm là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi