Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1+i)z+z¯ là số thuần ảo và |z−2i|=1
2D4 SO PHUCBạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (288.05 KB, 22 trang ) Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Tìm các số thực a và b thỏa mãn với i là đơn vị ảo. 1 a = , b =1 2 A. a = 0, b = 2 . B. . C. a = 0, b = 1 . D. a = 1, b = 2 . Lời giải Ta có 2a + ( b + i ) i = 1 + 2i ( 2a 1) + bi = 1 + 2i 2a 1 = 1 b = 2 a = 1 b = 2 . Câu 3: (Tham khảo THPTQG 2019) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 3z + 5 = 0 . Giá trị của z1 + z2 bằng A. 2 5 . B. 5 . C. 3 . D. 10 . Lời giải 3 + 11i z1 = 2 z 2 3z + 5 = 0 3 11i z2 = z = z2 = 5 z1 + z2 = 2 5 2 Ta có : . Suy ra 1 . Câu 4: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức 3 + 7i có phần ảo bằng: A. 3 B. 7 C. 3 D. 7 Lời giải Câu 5: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức 5 + 6i có phần thực bằng A. 5 . B. 5 C. 6 . Lời giải Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 6 . D. 6 . Câu 6: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là A. 1 3i B. 1 3i C. 1 + 3i D. 1 + 3i Lời giải Câu 7: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3 + 4i . B. 4 3i . C. 3 4i . D. 4 + 3i . Lời giải 3 Số phức có phần thực bằng và phần ảo bằng 4 là: z = 3 + 4i . Câu 8: (Tham khảo 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức A. z = 2 + i Theo hình vẽ B. z = 1 2i C. z = 2 + i Lời giải D. z = 1 + 2i M ( 2;1) z = 2 + i z Câu 9: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z = 2 + i . Tính . A. z =3 Ta có z = 22 + 1 = 5 B. z =5 C. Lời giải z =2 D. z = 5 . Câu 10: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho số phức z = 2 3i . Tìm phần thực a của z ? A. a = 2 B. a = 3 C. a = 2 D. a = 3 Lời giải Số phức z = 2 3i có phần thực a = 2. x, y sao cho x2 1+ yi = 1+ 2i . Câu 11: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tất cả các số thực A. x = 2, y = 2 B. x = 2, y = 2 C. x = 0, y = 2 D. x = 2, y = 2 Lời giải 2 x 1 = 1 x = 0 2 y= 2 x 1 + yi = 1 + 2 i y = 2 Từ Câu 12: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hai số phức z1 = 4 3i và z2 = 7 + 3i . Tìm số phức z = z1 z2 . A. z = 3+ 6i B. z = 11 C. z = 1 10i Lời giải D. z = 3 6i = ( 4 3i ) ( 7 + 3i ) = 3 6i Ta có z = z1 z2 . 3 Câu 13: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho số phức z = 1 i + i . Tìm phần thực a và phần ảo b của z . a = 1,b = 2 a = 2,b = 1 a = 1, b = 0 a = 0,b = 1 A. B. C. D. Lời giải 3 2 2 Ta có: z = 1 i + i = 1 i + i .i = 1 i i = 1 2i (vì i = 1 ) Suy ra phần thực của z là a = 1, phần ảo của z là b = 2 . Câu 14: Cho 2 số phức A. z = 7 4i z1 = 5 7i z = 2 + 3i z= z +z 1 2. và 2 . Tìm số phức B. z = 2 + 5i C. z = 3 10i D. 14 Lời giải z = 5 7i + 2+ 3i = 7 4i . Câu 15: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo. A. z = 2 + 3i Số phức B. z = 3i C. z = 3 + i Lời giải D. z = 2 z được gọi là số thuần ảo nếu phần thực của nó bằng 0 . Câu 16: Cho số phước z = 1 2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ N ( 2;1) P ( 2;1) M ( 1; 2) Q ( 1;2) A. B. C. D. Lời giải w = iz = i ( 1 2i ) = 2 + i Câu 17: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho số phức z = 3 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z : A. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i B. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 Lời giải z = 3 2i z = 3 + 2i . Vậy phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 Câu 18: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z A. w = 7 3i . B. w = 3 3i . C. w = 3 + 7i. . Lời giải Ta có w = iz + z = i (2 + 5i) + (2 5i) = 2i 5 + 2 5i = 3 3i D. w = 7 7i Câu 19: (Đề tham khảo lần 2 2017) Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3 2 2i . Tìm a , b . A. a = 3; b = 2 B. a = 3; b = 2 2 C. a = 3; b = 2 D. a = 3; b = 2 2 Lời giải Số phức 3 2 2i có phần thực là a = 3 và phần ảo là b = 2 2 . Câu 20: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4 z 16 z + 17 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số 2 phức w = iz0 ? 1 M2 ;2÷ 2 . B. 1 M1 ; 2 ÷ 2 . A. 1 M 4 ;1÷ 4 . D. 1 M 3 ;1÷ 4 . C. Lời giải 2 = 64 4.17 = 4 = ( 2i ) Xét phương trình 4 z 16 z + 17 = 0 có . 2 Phương trình có hai nghiệm Do z0 Ta có z1 = 8 2i 1 8 + 2i 1 = 2 i, z 2 = = 2+ i 4 2 4 2 . là nghiệm phức có phần ảo dương nên w = iz0 = z0 = 2 + 1 i 2 . 1 + 2i 2 . 1 M2 ;2÷ w = iz0 2 . Vậy điểm biểu diễn là ( 2 x 3 yi ) + ( 1 3i ) = x + 6i với i là Câu 1: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn đơn vị ảo. A. x = 1; y = 3 B. x = 1; y = 1 C. x = 1; y = 1 D. x = 1; y = 3 Lời giải x +1 = 0 x = 1 ( 2 x 3 yi ) + ( 1 3i ) = x + 6i x + 1 + ( 3 y 9 ) i = 0 3 y 9 = 0 y = 3 . Ta có ( ) z + i ( z + 2) Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 5 B. 4 A.1 5 C. 2 3 D. 2 Lời giải z = x + yi ( x, y ¡ Đặt ). ( z + i ) ( z + 2 ) = x + ( 1 y ) i ( x + 2 ) + yi là số thuần ảo x ( x + 2 ) + y ( y 1) = 0 x2 + y 2 + 2x y = 0 . 1 5 I 1; ÷, R = 2 2 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm Câu 3: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn ( 3x + yi ) + ( 4 2i ) = 5 x + 2i A. x = 2 ; y = 4 với i là đơn vị ảo. B. x = 2 ; y = 4 C. x = 2 ; y = 0 D. x = 2 ; y = 0 Lời giải 2 x 4 = 0 ( 3x + yi ) + ( 4 2i ) = 5 x + 2i 2 x 4 + ( 4 y ) i = 0 4 y = 0 x = 2 y = 4 . ( z + 2i ) ( z 2 ) là số thuần ảo. Câu 4: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 2 B. 2 2 C. 4 Lời giải Giả sử z = x + yi với x, y ¡ . D. 2 ( z + 2i ) ( z 2 ) = x + ( 2 y ) i ( x 2 ) + yi = Vì x ( x 2 ) y ( 2 y ) + xy + ( x 2 ) ( 2 y ) i là số thuần ảo nên có phần thực bằng không do đó x ( x 2 ) y ( 2 y ) = 0 ( x 1) 2 + ( y 1) 2 = 2 phức z là một đường tròn có bán kính bằng . Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số 2. Câu 5: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn ( 2 x 3 yi ) + ( 3 i ) = 5 x 4i A. x = 1; y = 1 . với i là đơn vị ảo. B. x = 1; y = 1 . C. x = 1; y = 1 . Lời giải D. x = 1; y = 1 . 2 x + 3 = 5 x x = 1 3 y + 1 = 4 y =1 ( 2 x 3 yi ) + ( 3 i ) = 5 x 4i ( 2 x + 3) ( 3 y + 1) i = 5 x 4i ( ) z 2i ( z + 2 ) Câu 6: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng? A. 2 2 B. 2 D. 4 C. 2 Lời giải Gọi z = a + bi , a, b ¡ z 2i ( z + 2 ) = ( a bi 2i ) ( a + bi + 2 ) = a 2 + 2a + b 2 + 2b 2 ( a + b + 2 ) i Ta có: 2 2 z 2i ( z + 2 ) a 2 + 2a + b 2 + 2b = 0 ( a + 1) + ( b + 1) = 2 Vì là số thuần ảo nên ta có . z Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn có bán kính bằng 2 . ( ( ) ) ( 3x + 2 yi ) + ( 2 + i ) = 2 x 3i với Câu 7: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn i là đơn vị ảo. A. x = 2; y = 2 . B. x = 2; y = 1 . C. x = 2; y = 2 . D. x = 2; y = 1 . Lời giải Ta có: ( 3x + 2 yi ) + ( 2 + i ) = 2 x 3i 3x + 2 + ( 2 y + 1) = 2 x 3i 3 x + 2 = 2 x x = 2 2 y + 1 = 3 y = 2 . ( z + 3i ) ( z 3) là số Câu 8: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Xét các số phức z thỏa mãn thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng: 9 A. 2 . B. 3 2 . C. 3 . 3 2 D. 2 . Lời giải Gọi z = x + yi , với x, y R . ( z + 3i ) ( z 3) = z 2 3z + 3iz 9i Theo giả thiết, ta có là số thuần ảo khi 3 3 3 2 I ; ÷ R= x + y 3 x 3 y = 0 . Đây là phương trình đường tròn tâm 2 2 , bán kính 2 . 2 2 2 Câu 9: (Tham khảo 2018) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 4 z 4 z + 3 = 0 . Giá trị của biểu thức A. 3 2 z1 + z2 bằng: B. 2 3 C. 3 Lời giải D. 3 1 z1 = + 2 1 z2 = 2 2 Xét phương trình 4 z 4 z + 3 = 0 ta có hai nghiệm là: z1 = z2 = Câu 10: 3 2 z1 + z2 = 3 (Tham khảo 2018) Cho hàm số f '( x) = 2 i 2 2 i 2 2 , f( 0) = 1, 2x 1 1 R\ f (x) xác định trên 2 thỏa mãn ( 1) = 2 . Giá trị của biểu thức B. 2 + ln15 C. 3 + ln15 Lời giải A. 4 + ln15 f( 1) + ( 3) bằng D. ln15 2 2x 1dx = ln 2x 1 + C = f ( x) Với Với Nên x< 1 C=1 f ( 1) = 1+ ln3 2 nên x> 1 C = 2 f ( 3) = 2 + ln5 2 nên f( 1) + ( 3) = 3+ ln15 Câu 11: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm số phức z thỏa mãn z + 2 3i = 3 2i . A. z = 1 5i . B. z = 1 + i . C. z = 5 5i . D. z = 1 i . Lời giải z + 2 3i = 3 2i z = 3 2i 2 + 3i = 1 + i . Câu 12: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z1 = 1 2i , z2 = 3 + i . Tìm điểm biểu diễn của số phức z = z1 + z2 trên mặt phẳng tọa độ. A. N ( 4; 3) z = z1 + z2 = 2 i . B. M ( 2; 5 ) C. Lời giải P ( 2; 1) D. Q ( 1; 7 ) 2 Câu 13: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z + 4 = 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z1 , z2 trên mặt phẳng tọa độ. Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ. A. T = 2 C. T = 8 Lời giải B. T = 2 D. 4 z = 2i z2 + 4 = 0 1 z2 = 2i Ta có: Suy ra T = OM + ON = M ( 0; 2 ) N ( 0; 2 ) ; nên ( 2 ) 2 + 22 = 4 . Câu 14: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn | z |= 5 và | z + 3 |=| z + 3 10i | . Tìm số phức w = z 4 + 3i. A. w = 3 + 8i. B. w = 1 + 3i. C. w = 1 + 7i. Lời giải D. w = 4 + 8i. z = x + yi , ( x, y ¡ ) . Theo đề bài ta có x 2 + y 2 = 25 và ( x + 3) 2 + y 2 = ( x + 3) 2 + ( y 10) 2 . Giải hệ phương trình trên ta được x = 0; y = 5 . Vậy z = 5i . Từ đó ta có w = 4 + 8i . Câu 15: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hai số phức z1 = 1 3i và z2 = 2 5i . Tìm phần ảo b của số phức z = z1 z2 . A. b = 2 B. b = 3 C. b = 3 D. b = 2 Lời giải Ta có z = z1 z2 = 3+ 2i b = 2 Câu 16: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Kí hiệu z1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 1 1 P= + z1 z2 z2 z + 6 = 0 . Tính . 1 1 1 A. 12 B. 6 C. 6 D. 6 Lời giải Theo định lí Vi-et, ta có z1 + z2 = 1 z1z2 = 6 P= nên 1 1 z1 + z2 1 + = = z1 z2 z1.z2 6 Câu 17: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên. A. z1 = 1 2i B. z1 = 1+ 2i C. z1 = 2+ i D. z1 = 2 + i Lời giải Điểm Câu 18: M ( 2;1) là điểm biểu diễn số phức z1 = 2+ i (THPT QG 2017 Mã đề 110) Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2 z + 1 = 0 . Tính P = z1 + z2 . A. P= 14 3 B. P= 2 3 P= C. 3 3 D. P= 2 3 3 Lời giải 2 = ( 1) 4.3.1 = 11< 0 Xét phương trình 3z z + 1 = 0 có . Căn bậc hai của là ±i 11 . 2 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt z1 = 1+ i 11 1 11 1 i 11 1 11 = + i ; z2 = = i 6 6 6 6 6 6 Từ đó suy ra: 2 2 2 2 1 11 1 11 1 11 1 11 3 3 + ÷ + ÷ + i+ i = ÷ + 6 ÷ ÷ = + 6 6 6 6 P = z1 + z2 = 6 6 6 ÷ 3 3 = 2 3 3 Cách khác: Sử dụng máy tính Casio FX 570ES Plus hỗ trợ tìm nghiệm phương trình bậc 2 sau đó vào môi trường số phức (Mode 2 CMPLX) tính tổng môđun của 2 nghiệm vừa tìm được. Câu 19: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho số phức S = 4a+ b. A. S = 4 B. S = 2 z = a+ bi ( a, b ¡ C. S = 2 Lời giải ) thoả mãn D. S = 4 a+ 2 = a2 + b2 , a 2 z + 2+ i = z ( a+ 2) + ( b+ 1) i = a2 + b2 b+ 1 = 0 Ta có 3 b = 1 a = 4 S = 4a+ b = 4 2 2 ( a+ 2) = a + 1 b = 1 . z + 2+ i = z . Tính Câu 20: Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 2 2 A. z 2z 3 = 0 B. z + 2z + 3 = 0 1+ 2i và 1 2i là nghiệm. 2 C. z 2z + 3 = 0 2 D. z + 2z 3 = 0 Lời giải z1 + z2 = 2 z .z = 3 Theo định lý Viet ta có 1 2 , do đó z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z + 3 = 0 2 Câu 21: Cho số phức z = a+ bi ,( a, b ¡ A. S = 5 B. ) thỏa mãn z + 1+ 3i z i = 0 .Tính S = a+ 3b. S= 7 3 C. S = 5 Lời giải D. S= 7 3 a = 1 a+ 1 = 0 z + 1+ 3i z i = 0 a+ bi + 1+ 3i a2 + b2 i = 0 4 2 2 b+ 3 a + b = 0 b = 3 Ta có: S = a+ 3b = 5. Câu 22: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hai số phức A. z1 + z2 = 13 . B. z1 = 1 + i và z2 = 2 3i . Tính môđun của số phức z1 + z2 . z1 + z2 = 5 z1 + z2 = 1 + i + ( 2 3i ) = 3 2i nên ta có: . C. Lời giải z1 + z2 = 1 . z1 + z2 = 5 D. z1 + z2 = 3 2i = 32 + 22 = 13 . . Câu 23: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = 3 i. Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên? A. Điểm P B. Điểm Q C. Điểm M Lời giải D. Điểm N (1+ i) z = 3 i z = 3 i ( 3 i ) ( 1 i ) 2 4i = = = 1 2i 1+ i (1+ i) (1 i) 2 Q ( 1; 2 ) .Vậy điểm biểu diễn của z là . Câu 24: (Đề minh họa lần 1 2017) Kí hiệu Tính tổng z1 , z2 , z3 và z4 4 2 là bốn nghiệm phức của phương trình z z 12 = 0 . T = z1 + z2 + z3 + z4 B. T = 2 3 A. T = 4 C. T = 4 + 2 3 Lời giải D. T = 2 + 2 3 z 2 = 3 z = ±i 3 z 4 z 2 12 = 0 2 z = 4 z = ±2 T = z1 + z2 + z3 + z4 = i 3 + i 3 + 2 + 2 = 2 3 + 4 z = ( 4 3i ) ( 1 + i ) Câu 25: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tính môđun của số phức z biết . A. z = 25 2 B. z =7 2 C. Lời giải z =5 2 D. z = 2 z = ( 4 3i ) ( 1 + i ) = 7 + i z = 7 i z = 5 2 2 Câu 26: (Đề tham khảo lần 2 2017) Kí hiệu z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình z + z + 1 = 0 . Tính P = z12 + z22 + z1 z2 A. P = 1 . B. P = 2 C. P = 1 Lời giải D. P = 0 Cách 1 1 z = + 2 z2 + z +1 = 0 1 z = 2 3 i 2 3 i 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 P = z + z + z1 z2 = + i÷ + i + + i i÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷= 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 Cách 2: Theo định lí Vi-et: z1 + z2 = 1 ; z1.z 2 = 1 . P = z12 + z22 + z1 z2 = ( z1 + z2 ) 2 z1 z2 + z1 z2 = 12 1 = 0 2 Khi đó . Câu 27: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i Lời giải Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức z = x + yi được biểu diễn bởi điểm M ( x; y ) . Điểm M trong hệ trục Oxy có hoành độ x = 3 và tung độ y = 4 . Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 4 . Câu 28: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm số phức liên hợp của số phức A. z = 3 i . B. z = 3 + i . z = i ( 3i + 1) = 3 + i nên suy ra C. z = 3 + i . Lời giải A. z ( 2 i ) + 13i = 1 Câu 30: B. z= z = 34 C. Lời giải z = z A. 1 2 thỏa mãn 5 34 3 (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho số phức P= D. z = 3 i . z ( 2 i ) + 13i = 1 D. ( 1 13i ) ( 2 + i ) z = 3 5i 1 13i z= 2i ( 2 i) ( 2 + i) ( 1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i. Tính . z = 3 i . Câu 29: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tính môđun của số phức z = 34 z = i ( 3i + 1) z= 34 3 z = 32 + ( 5) = 34. 2 . z = a + bi ( a, b ¡ ) P = a+b . B. P = 1 C. P = 1 Lời giải . D. P= 1 2 thỏa mãn ( 1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i. ( 1) . Ta có: z = a + bi z = a bi. ( 1) ta được ( 1 + i ) ( a + bi ) + 2 ( a bi ) = 3 + 2i Thay vào ( a b ) i + ( 3a b ) = 3 + 2i ( a b ) i + ( 3a b ) = 3 + 2i 1 a= a b = 2 2 P = 1. 3a b = 3 b = 3 2 ( ) ( z + 2i ) z + 2 Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Xét các số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là ( 1; 1) . ( 1;1) . ( 1;1) . ( 1; 1) . A. B. C. D. Lời giải Gọi z = x + yi, ( x, y ¡ Ta có: ) . Điểm biểu diễn cho ( z + 2i ) ( z + 2 ) = ( x + yi + 2i ) ( x yi + 2 ) = x ( x + 2 ) + y ( y + 2 ) + i ( x 2 ) ( y + 2 ) xy x ( x + 2) + y ( y + 2) = 0 ( x + 1) + ( y + 1) = 2 2 z là M ( x; y ) . là số thuần ảo 2 . I ( 1; 1) Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn có tâm . 2 Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1 i = z 3 + 3i A. 4 . z =2 z+z +4 và ? C. 1 . Lời giải B. 3 . D. 2 . ( x; y ¡ ) . Gọi z = x + yi x 2 + y 2 4 x 4 = 0, x 0 ( 1) 2 2 2 z = 2 z + z + 4 x2 + y2 = 4 x + 4 x + y + 4 x 4 = 0, x < 0 ( 2 ) . z 1 i = z 3 + 3i ( x 1) + ( y 1) = ( x 3 ) + ( y + 3) 4 x = 8 y + 16 x = 2 y + 4 ( 3) . 2 + Thay ( 3) vào ( 1) 2 2 2 ta được: 2 24 y = x = ( n) 5 5 2 2 2 ( 2 y + 4 ) + y 4 ( 2 y + 4 ) 4 = 0 5 y + 8 y 4 = 0 y = 2 x = 0 ( n ) . ( 3) + Thay vào ( 2) ta được: y = 2 x = 0 ( l ) 14 8 2 ( 2 y + 4 ) + y 2 + 4 ( 2 y + 4 ) 4 = 0 5 y 2 + 24 y + 28 = 0 y = 5 x = 5 ( n ) . Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện. Câu 3: (Tham khảo 2018) Cho số phức Tính P = a + b . B. P = 5 A. P = 1 Ta có: z = a + bi ( a, b ¡ thỏa mãn z + 2 + i z (1+ i) = 0 C. P = 3 Lời giải và z >1 . D. P = 7 z + 2 + i z ( 1 + i ) = 0 a + bi + 2 + i a 2 + b 2 ( 1 + i ) = 0 2 ( 2 2 a + 2 a + b + b +1 a + b Lấy ) ( 1) trừ ( 2) 2 ) a + 2 a 2 + b 2 = 0 ( 1) i=0 b + 1 a 2 + b 2 = 0 ( 2 ) ( 1) ta được: ta được: a b + 1 = 0 b = a + 1 . Thế vào a + 2 a 2 + ( a + 1) = 0 a + 2 = 2a 2 + 2a + 1 2 a 2 a 2 a 2 2 a = 3 ( tm ) 2 2 a + 4a + 4 = 2a + 2a + 1 a 2a 3 = 0 a = 1 tm ( ) Với a = 3 b = 4 ; a = 1 b = 0 . a = 3 z > 1 z = 3 + 4i P = a +b = 3+ 4 = 7 b = 4 Vì . Câu 4: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn z 3 +i = m tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z = 1 và . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . Lời giải x 2 + y 2 = 1 (1) 2 2 x 3 + ( y + 1) = m 2 (m 0) z = x + yi , ( x , y ¡ ) Gọi , ta có hệ ( ) Ta thấy m = 0 z = 3 i không thỏa mãn z.z = 1 suy ra m > 0 . 1 Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn ( ) là đường tròn (C1 ) có O(0;0), R1 = 1 , tập hợp các điểm thỏa mãn suy ra I nằm ngoài (C1 ) . ( 2) I là đường tròn (C2 ) tâm ( ) 3; 1 , R2 = m , ta thấy OI = 2 > R1 Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với (C1 ), (C2 ) tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi OI = R1 + R2 m + 1 = 2 m = 1 hoặc R2 = R1 + OI m = 1 + 2 = 3 z+ 3 = 5 z 2i = z 2 2i Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho số phức z thỏa mãn và . Tính z . z = 17 z = 10 z = 10 z = 17 A. B. C. D. Lời giải z = x + yi ; x, y ¡ Đặt 2 ( x + 3) 2 + y2 = 25 ( x + 3) + y2 = 25 2 2 2 2 x + ( y 2) = ( x 2) + ( y 2) 4x + 4 = 0 Theo bài ra ta có y2 = 9 y = ±3 x = 1 x = 1 . Vậy z = 10 Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn thuần ảo? A. 0 B. 2 C. Vô số Lời giải Gọi số phức z = a+ bi ,( a,b ¡ z + 3i = 13 D. 1 ) z + 3i = 13 a+ bi + 3i = 13 a2 + ( b+ 3) = 13 2 Ta có a2 + b2 + 6b 4 = 0 a2 + b2 = 4 6b( 1) 2( a+ 2 bi ) z 2 2 = 1 = 1 = 1 2 z+ 2 z+ 2 a+ 2 + bi ( a+ 2) + b2 ( a+ 2) + b 2a 4 + 2b ( a+ 2) + b ( a+ 2) + b 2 = 2 2 2 2 2 i= . a2 + b2 + 2a ( a+ 2) 2 + b2 + 2b ( a+ 2) 2 + b2 i z và z + 2 là số a2 + b2 + 2a = 0( 2) a + b + 2a = 0 a 2 2 z b 0 ( a+ 2) + b2 z + 2 Do là số thuần ảo nên ( 1) vào ( 2) ta có 4 6b+ 2a = 0 a = 3b 2 thay vào ( 1) ta có Thay b = 0(L) 2 b = 3 a = 1 2 2 3 b 2 + b 4 + 6 b = 0 10 b 6 b = 0 ( ) 5 5 2 2 Vậy có một số phức cần tìm. ( z 1) là Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z + 2 i |= 2 2 và số thuần ảo. A. 0 B. 2 C. 4 D. 3 2 Lời giải 2 z = x + yi với ( x, y ¡ ) , vì ( z 1) = ( x 1) y + 2( x 1) yi là số thuần ảo Gọi số phức ( x + 2) 2 + ( y 1) 2 = 8 2 ( x 1) = y2 nên theo đề bài ta có HPT y = x 1, thay vào phương trình đầu, ta được Với 2 ( x + 2) + ( x 2) 2 2 2 = 8 x2 = 0 x = 0. Với x = 3 2 , thay vào phương trình đầu, ra được ( x + 2) + ( x) 2 2 = 8 2x2 + 4x 4 = 0 x = 1± 3. Vậy có 3 số phức thỏa mãn. Câu 8: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn A. 0 Đặt z 3i = 5 B. 2 z = x + yi ( x, y ¡ z và z 4 là số thuần ảo? D. 1 C. Vô số Lời giải ) . Điều kiện z 4 z 3i = 5 x + ( y 3) i = 5 x2 + ( y 3) = 25 x2 + y2 6y = 16( 1) 2 Do x + yi z = z 4 ( x 4) + yi x( x 4) + y2 là số thuần ảo nên phần thực ( x 4) 3 2 +y 2 = 0 x2 + y2 4x = 0( 2) ( 1) và ( 2) suy ra 4x 6y = 16 x = 4+ 2 y , thay vào ( 1) ta được: Từ 2 3 2 24 4 + 2 y ÷ + y 6y 16 = 0 y = 0 y= 13 hoặc Với y = 0 ta được x = 4, suy ra z = 4 (loại) Với y= 24 16 16 24 x= z= i 13 ta được 13 và 13 13 (thỏa mãn) Vậy có một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là z= 16 24 i 13 13 z =4 Câu 9: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho các số phức z thỏa mãn . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3 + 4i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó B. r = 5 A. r = 4 Giả sử C. r = 20 Lời giải z = a + bi ; w = x + yi ; ( a, b, x, y ¡ Theo đề D. r = 22 ) w = ( 3 + 4i ) z + i x + yi = ( 3 + 4i ) ( a + bi ) + i x = 3a 4b x = 3a 4b x + yi = ( 3a 4b ) + ( 3b + 4a + 1) i y = 3b + 4a + 1 y 1 = 3b + 4a Ta có ( x 2 + ( y 1) = ( 3a 4b ) + ( 4a + 3b ) = 25a 2 + 25b 2 = 25 a 2 + b 2 2 Mà 2 2 z = 4 a 2 + b 2 = 16 ) x 2 + ( y 1) = 25.16 = 400 2 . Vậy Bán kính đường tròn là r = 400 = 20 . Câu 10: (Đề tham khảo lần 2 2017) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn củasố phức z (như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z ? A. Điểm N B. Điểm Q C. Điểm E y Q M Gọi z = a + bi ( a, b ¡ E x O N D. Điểm P P Lời giải ) . Điểm biểu diễn của z là điểm M ( a; b ) 2 z = 2a + 2bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy là M 1 ( 2 a; 2b ) . uuuur uuuur OM = 2 OM 1 Ta có suy ra M 1 E . Câu 11: (Đề tham khảo lần 2 2017) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z i = 5 A. 2 2 và z là số thuần ảo? B. 3 C. 4 Lời giải D. 0 2 2 2 Giả sử z = a+ bi z = a b + 2abi Vì z i = 5 2 và z là số thuần ảo ta có hệ phương trình a = b a = b = 4 2 2 a + (b 1) = 25 b + (b 1) = 25 a = b = 3 2 2 b = a = 4 a b = 0 a = b 2 2 b + (b 1) = 25 b = a = 3 2 2 z ( z 4 i ) + 2i = ( 5 i ) z Câu 1: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ? B. 3 A. 2 C. 1 D. 4 Lời giải Ta có z ( z 4 i ) + 2i = ( 5 i ) z z z 4 z z i + 2i = ( 5 i ) z z ( z 5 + i ) = 4 z + ( z 2 ) i . Lấy module 2 vế ta được z ( z 5) 2 +1 = (4 z) 2 2 2 2 2 2 + ( z 2 ) z ( z 5 ) + 1 = ( 4 z ) + ( z 2 ) ( 1) . t= z , t 0. 1 Phương trình ( ) trở thành Đặt 2 2 2 t 2 ( t 5 ) + 1 = ( 4t ) + ( t 2 ) t 2 ( t 2 10t + 26 ) = 17t 2 4t + 4 3 2 t 4 10t 3 + 9t 2 + 4t 4 = 0 ( t 1) ( t 9t + 4 ) = 0 t t t = 1 t 3 2 t t 9t + 4 = 0 =1 8,95 0, 69 0, 64 Ứng với mỗi giá trị t 0 , với z= ( n) ( n) ( n) ( l) . 4t + ( 2 t ) i 5i t suy ra có một số phức z thỏa mãn. Câu 2: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn ? A. 2 B. 3 C. 1 Lời giải Đặt z = a 0, a ¡ , khi đó ta có z ( z 6 i ) + 2i = ( 7 i ) z D. 4 z ( z 6 i ) + 2i = ( 7 i ) z a ( z 6 i ) + 2i = ( 7 i ) z ( a 7 + i ) z = 6a + ai 2i ( a 7 + i ) z = 6a + ( a 2 ) i ( a 7 + i ) z = 6 a + ( a 2 ) i 2 2 ( a 7 ) + 1 a 2 = 36 a 2 + ( a 2 ) a 4 14a 3 + 13a 2 + 4a 4 = 0 a = 1 ( a 1) ( a 3 13a 2 + 4 ) = 0 3 2 a 12a + 4 = 0 Xét hàm số f ( a ) = a 3 13a 2 ( a 0 ) , có bảng biến thiên là f ( a) 3 2 Đường thẳng y = 4 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm nên phương trình a 12a + 4 = 0 f ( 1) 0 có hai nghiệm khác 1 (do ). Mỗi giá trị của 3 Vậy có số phức thỏa mãn điều kiện. a cho ta một số phức z . Câu 3: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z ( z 5 i ) + 2i = ( 6 i ) z ? B. 3 A. 1 C. 4 D. 2 Lời giải Ta có z ( z 5 i ) + 2i = ( 6 i ) z ( z 6 + i ) z = 5 z + ( z 2 ) i ( 1) Lây môđun hai vế của ( z 6) 2 ( 1) ta có: + 1. z = 25 z + ( z 2 ) 2 2 Bình phương và rút gọn ta được: ( ) 4 3 2 z 12 z + 11 z + 4 z 4 = 0 ( z 1) z 11 z + 4 = 0 z z z =1 z 3 2 z z 11 z + 4 = 0 z 0 z =1 Do , nên ta có , bài. 3 2 =1 = 10,9667... = 0, 62... = 0,587... z = 10,9667... z = 0, 62... ( 1) ta có 3 số phức thỏa mãn đề , . Thay vào z ( z 3 i ) + 2i = ( 4 i ) z Câu 4: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ? B. 3 . A. 1 . C. 2 . Lời giải z ( z 3 i ) + 2i = ( 4 i ) z ( z 4 + i ) z = 3 z + ( z 2 ) i ( z 4) 2 + 1. z = 9 z + ( z 2 ) 2 2 (1). D. 4 . (*) Đặt m= z 0 ta có ( 1) ( ( m 4 ) 2 ) + 1 .m 2 = 9m 2 + ( m 2 ) 2 m 4 8m3 + 7m 2 + 4m 4 = 0 m = 1 m 6, 91638 m 0.80344 m = 1 3 3 2 2 ( m 1) ( m 7 m + 4 ) = 0 m 0.71982 m 7m + 4 = 0 ( L) . 3m + ( m 2 ) i z = z =m m4+i Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi sẽ có một số phức thỏa mãn đề bài. 3 z Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5: (Tham khảo 2018) Xét số phức z = a + bi khi z + 1 3i + z 1 + i A. P = 10 ( a, b ¡ ) đạt giá trị lớn nhất. B. P = 4 Goi E là trung điểm của AB và M ( a; b ) C. P = 6 Lời giải z 4 3i = 5 . Tính P = a + b D. P = 8 là điểm biểu diễn của số phức z. z 4 3i = 5 ( a 4 ) + ( b 3) = 5 Tập hợp điểm biểu diễn số 2 Theo giả thiết ta có: thỏa mãn 2 I ( 4;3) phức z là đường tròn tâm bán kính R = 5 A ( 1;3) Q = z + 1 3i + z 1 + i = MA + MB B 1; 1 ( ) Ta có: Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D 2 2 2 Ta có: Q = MA + MB + 2 MA.MB ( Q 2 MA2 + MB 2 + MA2 + MB 2 = 2 MA2 + MB 2 ) Vì ME là trung tuyến trong MAB ME 2 = MA2 + MB 2 AB 2 AB 2 MA2 + MB 2 = 2ME 2 + 2 4 2 AB 2 2 2 2 Q 2 2 ME + ÷ = 4ME + AB 2 . Mặt khác ME DE = EI + ID = 2 5 + 5 = 3 5 2 ( ) 2 Q 2 4. 3 5 + 20 = 200 MA = MB Q 10 2 Qmax = 10 2 M D uur uur 4 = 2( xD 4) xD = 6 EI = 2 ID M ( 6; 4 ) P = a + b = 10 2 = 2( yD 3) yD = 4 ( a 4 ) + ( b 5) = 5. Cách 2:Đặt z = a + bi. Theo giả thiết ta có: a 4 = 5 sin t b 3 = 5 cos t Đặt . Khi đó: 2 Q = z + 1 3i + z 1 + i = = ( ) ( a + 1) ( 2 5 sin t + 5 + 5cos 2 t + 2 + ( b 3) + 2 ) ( 2 5 sin t + 3 + 2 ( a 1) 2 + ( b + 1) 5 cos t + 4 ) 2 2 = 30 + 10 5 sin t + 30 + 2 5 ( 3sin t + 4 cos t ) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: ( ) ( ) Q 2 60 + 8 5 ( 2sin t + cos t ) 2 60 + 8 5. 5 = 200 = 10 2 Q 10 2 Qmax = 10 2 sin t = cos t = Dấu bằng xảy ra khi 2 a = 6 5 P = a + b = 10. 1 b = 4 5 z + 2 i + z 4 7i = 6 2. Câu 6: (Đề tham khảo lần 2 2017) Xét số phức z thỏa mãn Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất cả giá trị lớn nhất của A. P = 13 + 73 B. P= z 1+ i . Tính P = m + M . 5 2 + 2 73 2 C. P = 5 2 + 73 Lời giải D. P= 5 2 + 73 2 F 2;1) , F2 ( 4; 7 ) N 1; 1) . Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , 1 ( và ( Từ z + 2 i + z 4 7i = 6 2 và F1 F2 = 6 2 nên ta có A là đoạn thẳng F1 F2 . Gọi H là hình 3 3 5 2 + 2 73 H ; ÷ P = NH + NF2 = . F F 2 chiếu của N lên 1 2 , ta có 2 2 . Suy ra Câu 7: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Xét số phức nào dưới đây đúng? z thỏa mãn ( 1 + 2i ) z = 10 2 + i. z Mệnh đề 3 < z < 2. A. 2 z 1 = Ta có Vậy ( 1 + 2i ) 1 z 2 B. z > 2. C. Lời giải z < 1 . 2 1 3 < z < . 2 D. 2 z. z = 10 2+i z 10 ( z + 2 ) + ( 2 z 1) i = 2 ÷.z z ÷ 10 ÷.z 2 ÷ z ( z + 2 ) + ( 2 z 1) i = 10 2 10 2 2 ( z + 2 ) + ( 2 z 1) = 4 ÷. z = 2 . z ÷ z z = a > 0. Đặt a 2 = 1 2 2 10 ( a + 2 ) + ( 2a 1) = 2 ÷ a 4 + a 2 2 = 0 2 a = 1 z = 1. a = 2 a |
