Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y = 3 - m x + 2 đồng biến trên r

Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm sốy=ln[x3+mx+2] đồng biến trên khoảng [1;+∞].

Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

1/ Định lí về tính đồng biến nghịch biến

Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a;b]. Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:

• Hàm số y = f[x] đồng biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
• Hàm số y = f[x] nghịch biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

2/ Đối với hàm số bậc 3

Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3, hơn 90% các bài viết đều áp dụng cho hàm số bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ y’ = 3ax2 + 2bx + c

• TH1: a = 0 [nếu có tham số]
• TH2: a ≠ 0

+ Hàm số đồng biến trên ℝ

+ Hàm số nghịch biến trên ℝ

3/ Đối với hàm số bậc nhất

• Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi a > 0
• Hàm số y = ax + b [a ≠ 0] nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0

Tóm tắt lý thuyết tính đồng biến nghịch biến

1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f[x] xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.

a] Hàm số y = f[x] đồng biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] < f[x₂].

b] Hàm số y = f[x] nghịch biến trên K nếu mọi x₁, x₂ ∊ K, x₁ < x₂ ⇒ f[x₁] > f[x₂].

2. Định lí

Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K .

a] Nếu f’[x] > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K .

b] Nếu f’[x] < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K .

c] Nếu f’[x] = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] không đổi trên K .

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] > 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’[x] < 0 trên khoảng [a;b] thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].

3. Định lí mở rộng

Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên K.

a] Nếu f’[x] ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] đồng biến trên K.

b] Nếu f’[x] ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f[x] nghịch biến trên K.

4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo hàm f’[x]. Tìm các điểm xᵢ [i = 1, 2, …,n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.