50 Bài tập về bất đẳng thức: Bài 1: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Bài 2: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Bài 3: Cho a,b >0 và , tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Bài 4: Cho a,b,c>0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Cách 1: Cách 2: Tương tự Do đó: Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và . Chứng minh rằng: Giải: Bài 6: Cho a,b,c>0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4 Bài 7: Cho x,y,z> 0 và . Tìm giá trị lớn nhất của Giải: Ta có Bài 8 Chứng minh rằng với mọi , ta có Giải: Cộng các vế tương ứng => đpcm. Bài 9: Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng Giải: Dự đoán x=y=z = 2 và nên : Cộng các kết quả trên => đpcm. Bài 10: Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng Giải: Bài 11 Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4 Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy ra. Bài 12 Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: Cách 2: Bài 13. Cho x,y >0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Dự đoán x=y=2 Bài 14: Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh rằng Giải: Ta có Bài 15: Cho x,y,z >0 và . Chứng minh rằng Giải: Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm Bài 16: Cho x,y,z>0 và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của Giải: Bài 17: Cho a,b,c >1. Chứng minh rằng: Giải: Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming rằng : Giải: cộng ba bất đẳng thức =>đpcm Bài 19 Với a,b,c >0 chứng minh rằng: Giải: Bài 20: Cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng : Giải: Cần nhớ: Bài 21 Với a,b,c>0 chứng minh rằng: Giải. Bài 22 Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó. Chứng minh rằng Giải: Bài 23 Cho x,y,z>0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Cách1: Cách 2: Bài 24 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng Giải: Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: Giải: Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương. Bài 26 Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì Giải: Bu- nhi -a ta có : Bài 27 Cho hai số a, b thỏa mãn : . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng Giải: Bài 28 Chứng minh rằng Giải: Bài 29 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: [Với x; y là các số thực dương]. Giải: Đặt Có Bài 30 Cho ba số thực đôi một phân biệt. Chứng minh Giải: [Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =] Bài 31 Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c . Chứng ming rằng Giải: Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: 3[a2 + b2 + c2] = [a + b + c][a2 + b2 + c2] = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 ³ 2a2b ;b3 + bc2 ³ 2b2c;c3 + ca2 ³ 2c2a Suy ra 3[a2 + b2 + c2] ³ 3[a2b + b2c + c2a] > 0 Suy ra t = a2 + b2 + c2, với t ³ 3. Suy ra Þ P ³ 4 a = b = c = 1 Bài 33 Ch x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = 1. tìm giá trị nhỏ nhất của P = Giải: có =khi y=2x; khi z=4x; khi z=2y =>P 49/16 Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Dấu bằng xảy ra khi .Vậy Min B là 43 khi Bài 35 Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 9 Gải: và Tương tự và x2 + y2 + z2 3[ x + y +z] – 6 3. 5 – 6 = 9 Bài 36 Cho a,b,c là các số thuộc thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = 6. Chứng minh rằng . Giải: Bài 37 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn . Chứng minh rằng: Giải: cộng các vế lại Bài 38 Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng Giải: hay Bài 39 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng: Giải: Có chứng minh được hay không? Bài 40 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải: Có [1] , [2] [3] . Dấu ‘=’ xảy ra Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của [1], [2], [3] đều dương. Nhân vế với vế của [1], [2], [3] ta có : [*] Từ nên [*] [*] Ta có Từ đó [**] Áp dụng [*] vào [**] cho ta Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi Bài 41 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng . Giải: Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng: Giải: Chứng minh được Bài 43 Cho . Chứng minh rằng Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải: Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau: Thật vậy: Cách 2 : Bài 45: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: Giải: Bài 46 Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng: Giải: Bài 47 Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng : Giải: Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: Giải: Bài 49 Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng : Giải: Cách 1: Cách 2 Bài 50 Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: Giải:
Cập nhật lúc: 12:02 06-02-2017 Mục tin: LỚP 9
Bất đẳng thức luôn là phần khó trong các đề thi, một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 sau sẽ giúp các em định hướng ôn tập, chuẩn bị tốt hơn cho kì thi.
I. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng
[a+b][b+c][c+a]\[\geq\]8abc
Giải:
Dùng bất đẳng thức phụ:\[\left [ x+y \right ]^{2}\geq 4xy\]
Ta có \[\left [ a+b \right ]^{2}\geq 4ab\] ;\[\left [ c+b \right ]^{2}\geq 4cb\];\[\left [ a+c \right ]^{2}\geq 4ac\]
\[\Rightarrow \left [ a+b \right ]^{2}\left [ b+c \right ]^{2}\left [ a+c \right ]^{2}\geq 64[abc]^{2}\]
do đó [a+b][b+c][c+a]\[\geq\]8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức các bạn được học trong chương trình Toán lớp 9. Nó là một bất đẳng thức quan trọng được sử dụng nhiều nhất trong giải toán về chứng minh bất đẳng thức. Vậy bất đẳng thức Cosi và những bài toán áp dụng là gì?
Bất đẳng thức Cosi lớp 9
Bất đẳng thức Cosi hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.
BĐT được biểu diễn như sau: [x1 + x2 + x3 + ….+ xn]/n ≥ √x1.x2.x3….xn
Ngoài ra, BĐT Cosi được biểu diễn dưới dạng cụ thể sau: [a + b]/2 ≥ √a.b
Để chứng minh bất đẳng thức Cosi trên, ta có:
[a + b]/2 ≥ √a.b a + b ≥ 2√a.b a – 2√a.b + b ≥ 0 [√a – √b]2 ≥ 0 [1]
Với a và b là những số không âm thì biểu thức [1] luôn luôn đúng
Suy ra điều cần chứng minh.
Nhưng trong giải bài toán áp dụng BĐT Cosi, các bạn được phép áp dụng luôn BĐT mà không cần chứng minh.
Các dạng của bất đẳng thức cosi
Bất đẳng thức cosi là bất đẳng thức nổi tiếng trong toán học. Nó được chia là hai loại: dạng cụ thể và dạng tổng quát.
- Với Bất đẳng thức dạng cụ thể là dạng với trị số n cụ thể. Với n ở đây là những con số được xác định trong bất đẳng thức. Ví dụ như với 2 số thực không âm, ba số thực không âm hay bốn số thực không âm,….
- Với Bất đẳng thức dạng tổng quát thì n là số không được xác định. Trong đó, điều kiện của n phải đáp ứng là n không âm. Với dạng tổng quát này, chúng ta sẽ có bốn dạng tổng quát với x1, x2, x3, …xn không âm. Để nắm vững được các dạng tổng quát này, mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Một số hệ quả của bất đẳng thức cauchy
Hệ quả của bất đẳng thức cosi được áp dụng nhiều trong giải bài toán bất đẳng thức về tìm giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức hay một bất đẳng thức. Các bạn sẽ có hai hệ quả cần ghi nhớ. Đó là:
- Hệ quả 1: Khi tổng của hai số dương không đổi thì tích của hai số này lớn hơn khi hai số đó bằng nhau.
- Hệ quả 2: Khi tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này sẽ nhỏ nhất hai số đó bằng nhau.
Ngoài ra, các bạn còn một số kĩ thuật khi sử dụng bất đẳng thức cosi là
- Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
- Kỹ thuật tách nghịch đảo
- Kỹ thuật chọn điểm rơi
- Kỹ thuật đánh gí từ trung bình nhân [TBN] sang trung bình cộng [TBC]
Những bài toán áp dụng bất đẳng thức Cosi.
Trong bài toán về bất đẳng thức sẽ không chỉ rõ được những dạng thường áp dụng bất dẳng thức nào. Vì một bài toán có thể có nhiều cách làm và áp dụng các bất đẳng thức khác nhau. Trong khi, bất đẳng thức là bài toán rất khó, nó là bài toán phân loại học sinh.
Do đó, để biết cách áp dụng BĐT Cosi vào giải bài toán, các bạn cần luyện bài tập thật nhiều. Ở đây chúng tôi có tổng hợp 50 bài toán điển hình về áp dụng bất đẳng thức Cosi. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Có thể bạn quan tâm: Chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Sưu tầm: Thu Hoài