Bài toán về diều kiện bất phương trình năm 2024
|
Tài liệu gồm 224 trang, bao gồm tóm tắt lý thuyết, phân dạng và bài tập chuyên đề bất phương trình bậc hai một ẩn trong chương trình môn Toán lớp 10 GDPT 2018 (chương trình SGK mới). Show BÀI 3. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI. + Dạng toán 1. Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai. + Dạng toán 2. Bài toán chứa tham số liên quan đến tam thức bậc hai luôn mang một dấu. BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. + Dạng toán 1. Giải bất phương trình bậc hai. + Dạng toán 2. Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn. + Dạng toán 3. Giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu. + Dạng toán 4. Điều kiện về nghiệm của tam thức bậc hai. + Dạng toán 5. Bài toán thực tế về bất phương trình bậc hai. + Dạng toán 6. Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. BÀI 5. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI. + Dạng toán 1. Giải phương trình √f(x) = √g(x). + Dạng toán 2. Giải phương trình √f(x) = g(x). + Dạng toán 3. Giải phương trình chứa căn thức quy về dạng 1 hoặc dạng 2. + Dạng toán 4. Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bằng cách đặt ẩn số phụ. + Dạng toán 5. Kỹ thuật nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỉ. + Dạng toán 6. Các bài toán chứa tham số. + Dạng toán 7. Các bài toán thực tế về phương trình chứa căn thức. File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Với loạt Bất phương trình bậc hai và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10. Bất phương trình bậc hai và cách giải1. Lý thuyết - Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2+bx+c<0 (hoặc ax2+bx+c>0; ax2+bx+c≤0; ax2+bx+c≥0 ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0. - Giải bất phương trình bậc hai ax2+bx+c<0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x)=ax2+bx+c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0). 2. Các dạng toán Dạng 3.1: Dấu của tam thức bậc hai
- Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng ax2+bx+c . Trong đó a, b, c là nhứng số cho trước với a 0 .- Định lý về dấu của tam thức bậc hai: Cho f(x)=ax2+bx+c (a 0), Δ=b2−4ac .Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x∈ℝ . Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x=−b2a . Nếu Δ>0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x Lưu ý: Có thể thay biệt thức Δ=b2−4ac bằng biệt thức thu gọn Δ'=(b')2−ac . Ta có bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a Δ<0 : x −∞ +∞ f(x) Cùng dấu với a Δ=0 : x −∞ −b2a +∞ f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a Δ>0 : x −∞ x1 x2 +∞ f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a Minh họa bằng đồ thị
Ví dụ 1: Xét dấu tam thức fx=−x2−4x+5 Lời giải: Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x=1, x=-5 và hệ số a = -1 < 0 nên: f(x) > 0 khi x∈(−5;1) ; f(x) < 0 khi x∈(−∞;−5)∪(1;+∞) . Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức fx=3x2−10x+34x−5 . Lời giải: Ta có: 3x2−10x+3=0⇔x=3x=13 và 4x−5=0⇔x=54. Lập bảng xét dấu: x −∞ 13 54 3 +∞ 3x2−10x+3 + 0 - | - 0 + 4x-5 - | - 0 + | + f(x) - 0 + 0 - 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: fx≤0⇔x∈− ∞;13∪54;3 ; fx≥0⇔x∈13;54∪3;+∞ . Dạng 3.2: Giải và biện luận bất phương trình bậc hai
Giải và biện luận bất phương trình bậc hai Ta xét hai trường hợp: +) Trường hợp 1: a = 0 (nếu có). +) Trường hợp 2: a 0, ta có:Bước 1: Tính Δ (hoặc Δ') Bước 2: Dựa vào dấu của Δ (hoặc Δ') và a, ta biện luận số nghiệm của bất phương trình Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình x2+2x+6m>0. Lời giải: Đặt f(x)=x2+2x+6m Ta có Δ' = 1 - 6m; a = 1. Xét ba trường hợp: +) Trường hợp 1: Nếu Δ'<0⇔m>16⇒f(x)>0 ∀x∈ℝ . Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S=ℝ . +) Trường hợp 2: Nếu Δ'=0⇔m=16⇒f(x)>0 ∀x∈ℝ\{-1}. Suy ra nghiệm của bất phương trình là S=ℝ\{-1} . +) Trường hợp 3: Nếu Δ'>0⇔m<16 . Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1=−1−1−6m ; x2=−1+1−6m ( dễ thấy x1 Vậy: Với m>16 tập nghiệm của bất phương trình là S=ℝ . Với m=16 tập nghiệm của bất phương trình là S=ℝ\{-1} . Với m<16 tập nghiệm của bất phương trình là S=−∞;x1∪x2;+∞ với x1=−1−1−6m, x2=−1+1−6m. Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình 12x2 +2m+3x+m≤0. Lời giải: Đặt f(x)=12x2 +2m+3x+m, ta có a = 12 và Δ'=(m−3)2≥0 Khi đó, ta xét hai trường hợp: +) Trường hợp 1: Nếu Δ'=0⇔m=3 , suy ra f(x)≥0 ∀x∈ℝ . Do đó, nghiệm của bất phương trình là x=−b2a=−12 . +) Trường hợp 2: Nếu Δ'>0⇔m≠3 , suy ra f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1=−12;x2=−m6 Xét hai khả năng sau: Khả năng 1: Nếu x1 Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là S=−12;−m6 Khả năng 2: Nếu x1>x2⇔m>3 Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là S=−m6;−12 Vậy: Với m = 3 tập nghiệm của bất phương trình là S=−12 . Với m < 3 tập nghiệm của bất phương trình là S=−12;−m6 . Với m > 3 tập nghiệm của bất phương trình là S=−m6;−12 . Dạng 3.3: Bất phương trình chứa căn thức Sử dụng các công thức: +) f(x)≤g(x)⇔f(x)≥0g(x)≥0f(x)≤g2(x) +) f(x)≥g(x)⇔g(x)<0f(x)≥0g(x)≥0f(x)≥g2(x) Ví dụ 1: Giải bất phương trình x2+2≤x−1 . Lời giải: Ta có x2+2≤x−1⇔x−1≥0x2+2≥0x2+2≤x2−2x+1 ⇔x≥12x≤−1⇔x≥1x≤−12 (vô lý). Vậy bất phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2−2x−15>2x+5 . Lời giải: Ta có: x2−2x−15>2x+5⇔x2−2x−15≥02x+5<02x+5≥0x2−2x−15>2x+52 ⇔x≤−3x≥5x<−52x≥−523x2+22x+40<0⇔x≤−3x≥−52−4 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S=−∞; −3 . 3. Bài tập tự luyện 3.1 Tự luận Câu 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2x2−3x−15≤0 Lời giải: Xét fx=2x2−3x−15 . fx=0⇔x=3±1294 . Ta có bảng xét dấu: x −∞ 3−1294 3+1294 +∞ f(x) + 0 - 0 + Tập nghiệm của bất phương trình là S=3−1294; 3+1294 . Do đó bất phương trình có 6 nghiệm nguyên là: -2; -1; 0; 1; 2; 3. Câu 2: Xét dấu biểu thức: f(x)=x2−4 . Lời giải: Ta có f(x) có hai nghiệm phân biệt x = -2, x = 2 và hệ số a = 1 > 0 nên: f(x) < 0 khi x∈(−2;2) ; f(x) > 0 khi x∈(−∞;−2)∪(2;+∞). Câu 3: Xét dấu biểu thức: f(x)=x2−4x+4. Lời giải: x2−4x+4=0⇔x=2 . Ta có bảng xét dấu: Vậy f(x) > 0 với ∀x∈ℝ\{2} . Câu 4: Giải bất phương trình xx+5≤2x2+2. Lời giải: Bất phương trình xx+5≤2x2+2⇔x2+5x≤2x2+4⇔x2−5x+4≥0 Xét phương trình x2−5x+4=0⇔x−1x−4=0⇔x=1x=4. Lập bảng xét dấu: x − ∞ 1 4 + ∞ x2−5x+4 + 0 - 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x2−5x+4≥0⇔x∈− ∞;1∪4;+ ∞. Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn x+3x2−4−1x+2<2x2x−x2 ? Lời giải: Điều kiện: x2−4≠0x+2≠02x−x2≠0⇔x≠0x≠± 2. Bất phương trình: x+3x2−4−1x+2<2x2x−x2⇔x+3x2−4−1x+2+2xx2−2x<0⇔2x+9x2−4<0. Bảng xét dấu: x −∞ − 92 -2 2 +∞ 2x+9 - 0 + | + | + x2−4 + | + 0 - 0 + f(x) - 0 + || - || + Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2x+9x2−4<0⇔x∈− ∞;−92∪− 2;2. Vậy chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x = 1) thỏa mãn yêu cầu. Câu 6: Tìm các giá trị của m để biểu thức f(x)=x2+(m+1)x+2m+7>0 ∀x∈ℝ . Lời giải: Ta có: fx>0,∀x∈ℝ⇔a>0Δ<0⇔1>0m+12−42m+7<0 ⇔m2−6m−27<0⇔−3 Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình: m+1x2−2m+1x+4≥0 (1) có tập nghiệm S=R ? Lời giải: +) Trường hợp 1: m+1=0⇔m=−1 Bất phương trình (1) trở thành 4≥0 ∀x∈R ( Luôn đúng) (*) +) Trường hợp 2: m+1≠0⇔m≠−1 Bất phương trình (1) có tập nghiệm S=R ⇔a>0Δ'≤0⇔m+1>0Δ'=m2−2m−3≤0⇔−1 Từ (*) và (**) ta suy ra với −1≤m≤3 thì bất phương trình có tập nghiệm S=R. Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f(x) sau đây thỏa mãn fx=−x2+2x+m−2018<0 , ∀x∈ℝ . Lời giải: Vì tam thức bậc hai f(x) có hệ số a = -1 < 0 nên fx<0 , ∀x∈ℝ khi và chỉ khi Δ'<0⇔1−−1m−2018<0⇔m−2017<0⇔m<2017. Câu 9: Bất phương trình 2x−1≤2x−3 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7)? Lời giải: Ta có: 2x−1≤2x−3⇔2x−1≥02x−3≥02x−1≤2x−32 ⇔x≥12x≥324x2−14x+10≥0 ⇔x≥32x≤1x≥52⇔x≥52 Kết hợp điều kiện: x∈0;7x∈ℤ , suy ra x∈3;4;5;6 . Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7). Câu 10: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x2+2017≤2018x . Lời giải: x2+2017≤2018x⇔x2+2017≥0x≥0x2+2017≤2018x2 ⇔x≥0x2−1≥0⇔x≥0x≤−1x≥1 ⇔x≥1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T=1;+∞. 3.2 Trắc nghiệm Câu 1: Cho tam thức fx=ax2+bx+c a≠0,Δ=b2−4ac. Ta có fx≤0 với ∀x∈ℝ khi và chỉ khi: Lời giải: Chọn A. Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: fx≤0 với ∀x∈ℝ khi và chỉ khi a<0Δ≤0 . Câu 2: Cho hàm số y=fx=ax2+bx+c có đồ thị như hình vẽ. Đặt Δ=b2−4ac , tìm dấu của a và Δ . Lời giải: Chọn A. Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm quay lên nên a > 0 và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên Δ>0 . Câu 3: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a≠0) . Mệnh đề nào sau đây đúng? Lời giải: Chọn C. Theo định lý về dấu tam thức bậc hai Câu 4: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x2−8x+7≥0 . Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S? Lời giải: Chọn B. Ta có x2−8x+7≥0⇔x≤1x≥7 . Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S=−∞;1∪7;+∞ . Do đó 6;+∞⊄S . Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2+mx+4=0 có nghiệm Lời giải: Chọn B. Phương trình x2+mx+4=0 có nghiệm ⇔Δ≥0⇔m2−16≥0⇔m≤−4 hoặc m≥4 . Câu 6: Tam thức fx=x2+2m−1x+m2−3m+4 không âm với mọi giá trị của x khi Lời giải: Chọn D. Yêu cầu bài toán ⇔fx≥0,∀x∈ℝ ⇔x2+2m−1x+m2−3m+4≥0,∀x∈ℝ ⇔Δ'=m−12−m2−3m+4≤0 ⇔m−3≤0 ⇔m≤3 . Vậy m≤3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x2−m+2x+8m+1≤0 vô nghiệm. Lời giải: Chọn D. Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi Δ=m+22−48m+1<0⇔m2−28m<0⇔0 Câu 8: Bất phương trình −x2+6x−5>8−2x có nghiệm là: Lời giải: Chọn B. Ta có: −x2+6x−5>8−2x⇔−x2+6x−5≥08−2x<08−2x≥0−x2+6x−5>8−2x2 ⇔1≤x≤5x>4x≤43 Vậy nghiệm của bất phương trình là 3 Câu 9: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2x2+1≤x+1 là: Lời giải: Chọn B. Ta có: 2x2+1≤x+1⇔x+1≥02x2+1≥02x2+1≤x+12 ⇔x+1≥0x2−2x+1≤0⇔x+1≥0x−12≤0 ⇔x=1 Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên. Câu 10: Nghiệm của bất phương trình 3x−1x+2≤0 (1) là: Lời giải: Chọn D. Điều kiện xác định: x > -2. 1⇔3x−1≤0⇔x≤13 (do x+2>0 với mọi x > -2) Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình là −2 Bài tập tự luyện Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 3x2 − 2x − 12 ≤ 0. Bài 2. Xét dấu biểu thức: f(x)= 2x2 − 8. Bài 3. Giải bất phương trình x(x + 2) ≤ 3(x2 + 3). Bài 4. Tìm m để biểu thức fx=2x2+m+2x+2m+5>0 ∀x∈ℝ. Bài 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f(x) sau đây thỏa mãn fx=−2x2+2x+m−20>0 ∀x∈ℝ. Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác: Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới: Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
