Bài 60 sbt toán 9 tập 1 hình
Ta có: \(\widehat {QTS} = 180^\circ - \widehat {QTP}\)\( = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \) Trong tam giác vuông \(QST\), ta có: \(QS = QT.\sin \widehat {QTS} \)\(= 8.\sin 30^\circ = 4\left( {cm} \right)\) \(TS = QT.c{\rm{os}}\widehat {QTS} \)\(= 8.c{\rm{os30}}^\circ \approx 6,928\left( {cm} \right)\) Trong tam giác vuông \(QSP\), ta có: \(SP = QS.\cot g\widehat {QPS}\)\( = 4.\cot g18^\circ = 12,311\left( {cm} \right)\) \(PT = SP - TS \approx 12,311 - 6,928\)\( = 5,383\left( {cm} \right)\)
\(\displaystyle {S_{\Delta QPR}} = {1 \over 2}.QS.PR\)\( = \dfrac{1}{2}.QS.(PT + TR)\) \( \approx \dfrac{1}{2}.4.(5,383 + 5) \)\(= 2.10,383 = 20,766\left( {c{m^2}} \right)\) Bài 60 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: Lời giải:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: BE = BD; CD = CF AE = AB + BE AF = AC + CF Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC + CF \= AB + AC + (BD + DC) \= AB + AC + BC = c + b + a Mà: AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Bài 61 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
Lời giải:
Ax ⊥ AB By ⊥ AB Suy ra: Ax // By hay AC // BD Suy ra tứ giác ABDC là hình thang Gọi I là trung điểm của CD Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông) Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O. Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.
CA = CM DB = DM Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + BD + DC + CA = AB + 2CD Vì đường kính AB của (O) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất Ta có: CD ≥ AB nên CD nhỏ nhât khi và chỉ khi CD = AB Khi đó CD // AB ⇔ OM ⊥ AB Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn (O) thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.
Suy ra: 14 = 4 + 2.CD ⇒ CD = 5 (cm) Hay CM + DM = 5 ⇒ DM = 5 – CM (1) Tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OM2 = CM.DM ⇔ 22 = CM.DM ⇔ 4 = CM.DM (2) Thay (1) vào (2) ta có: CM.(5 – CM) = 4 ⇔ 5CM – CM2 – 4 = 0 ⇔ 4CM – CM2 + CM – 4 = 0 ⇔ CM(4 – CM) + (CM – 4) = 0 ⇔ CM(4 – CM) – (4 – CM) = 0 ⇔ (CM – 1)(4 – CM) = 0 ⇔ CM – 1 = 0 hoặc 4 – CM = 0 ⇔ CM = 1 hoặc CM = 4 Vì CM = CA (chứng minh trên) nên AC = 1 (cm) hoặc AC = 4 (cm) Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14. Bài 62 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:
Lời giải: Ax ⊥ AB By ⊥ AB Suy ra: Ax // By hay AC // BD Trong tam giác BND, ta có AC // BD Suy ra: ND/NA = BD/AC (hệ quả định lí Ta-lét) (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AC = CM và BD = DM (2) Từ (1) và (2) suy ra: ND/NA = MD/MC Trong tam giác ACD, ta có: ND/NA = MD/MC Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét) Mà: AC ⊥ AB (vì Ax ⊥ AB) Suy ra: MN ⊥ AB
Suy ra: MN/AC = DN/DA (hệ quả định lí Ta-lét) (3) Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC (vì M, N, H thẳng hàng) Suy ra: HN/AC = BN/BC (hệ quả định lí Ta-lét) (4) Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD Suy ra: ND/NA = BN/NC (hệ quả định lí Ta-lét) ⇒ ND/(DN + NA) = BN/(BN + NC) ⇔ ND/DA = BN/BC (5) Từ (3), (4) và (5) suy ra: MN/AC = HN/AC ⇒ MN = HN Bài 63 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng SABC = BD.DC |
