-6đoán đã có gọi là tiền đề của suy luận, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận.Tiền đề có thể gồm một hay nhiều phán đoán. Suy luận nào mà tiền đề gồmmột phán đoán gọi là suy luận trực tiếp. Nếu tiền đề có nhiều phán đoán tacó suy luận gián tiếp. Căn cứ vào bản chất sự liên hệ giữa tiền đề và kếtluận, có thể chia ra thành hai loại suy luận: suy luận diễn dịch và suy luậnquy nạp.Ví dụ Từ một tiền đề A suy ra mệnh đề B: A ⇒ B là suy luận trực tiếp;“Mệnh đề kéo theo” là mệnh đề dạng A ⇒ B [chỉ sai khi A đúng và Bsai]. "Phép kéo theo": A ⇒ B là phương pháp suy luận để từ một mệnhđề A, suy ra mệnh đề B sao cho A ⇒ B là đúng là suy luận gián tiếp.Một trong những đặc trưng làm cho toán học khác biệt với các ngànhkhoa học khác là việc xây dựng hệ thống lý thuyết bằng con đường suy diễn.Điều đó có nghĩa là mọi kết quả trong toán học đều là hệ quả logic của mộtsố tiền đề. Theo Michal Walicki [[16], tr.2]: Thông qua các cuộc thảo luậnvề chính trị và triết học, các nhà tư tưởng dần dần nâng cao các con đườnglý luận khác nhau. Các nhà triết học nghiêm túc không tin tưởng vào các nhàngụy biện, lo lắng về nguy cơ trái đạo đức từ các cuộc tranh cãi của các nhàngụy biện, Plato[1] đã cố gắng chống lại chúng bằng cách lao vào các cuộcthảo luận về đạo đức và tuyên bố rằng đã có một logic mạnh mẽ là phép biệnchứng. Tuy nhiên sự phát triển của “lý luận chính xác” lên tới đỉnh điểm tạiHy Lạp cổ đại với Aristotle[ 2], người đưa vào giảng dạy các categoricalforms [hình thức rõ ràng tuyệt đối] và Syllgisms [tam đoạn luận] một cách hệthống và khá đầy đủ trong bộ Organon.Aristotle được xem là bậc thầy của phép biện chứng và phép suy luậnlogic. Ông đã định nghĩa “tam đoạn luận” là ngôn ngữ mà trong đó, nếu mộtcái gì đó được giả định, thì tất yếu rút ra một cái gì đó khác hẳn với cái đã[1][2]Plato –Triết gia Hy Lạp [khoảng 427 – 347 trước Công nguyên]Aristotle –Triết gia Hy Lạp [khoảng 384 – 322 trước Công nguyên] -7cho, là một phương thức lập luận logic đi từ hai tiền đề đến một kết luận. Vídụ như ở các sách logic thường dẫn:Con người không bất tử,Socrates là một con người.Socrates không bất tử.Ngoài khái niệm của phép tam đoạn luận, ngày nay, người ta còn biếtđến Aristotle về phép suy luận diễn dịch là suy luận theo những quy tắc tổngquát, bằng những quy tắc đó từ những tiền đề đúng ta rút ra những kết luậnchắc chắn đúng. Tuy nhiên, phép suy diễn không là con đường duy nhất củatư duy khoa học kể cả tư duy toán học.Vào những năm đầu của thế kỷ XVII, Francis Bacon[3] đã đưa ra mộtphương pháp tiếp cận khác về kiến thức, khác với Aristotle. Ông cho rằng đểđạt được kiến thức mới phải đi từ thông tin riêng đến kết luận chung, gọi làsuy luận quy nạp. Suy luận kiểu này cho phép chúng ta dùng những tiền đềriêng – là những kiến thức đã được chấp nhận, như là phương tiện để đạtđược kiến thức mới. Suy luận quy nạp xuất phát từ sự quan sát và kiểmnghiệm những trường hợp riêng để đi đến những kết luận mang tính quy luậtcho trường hợp tổng quát. Cách suy luận quy nạp không đảm bảo để tiếnhành kết luận trong mọi trường hợp. Tuy nhiên, chứng minh bằng suy luậnquy nạp là một cách chứng minh rất hữu hiệu trong toán học. Euler[4] là bậcthầy của nghiên cứu suy luận quy nạp trong toán học, nhờ quy nạp ông đã cónhững phát minh quan trọng về các chuỗi số vô hạn, trong lý thuyết số vàtrong các lĩnh vực khác của toán học: ông đã quan sát, phỏng đoán táo bạo vàxác nhận sáng suốt một kết quả mới. Theo G.Polia [[15], tr.118]: Euler làngười duy nhất về một phương diện, ông cố gắng trình bày cẩn thận, tỉ mỉrành mạch các lý lẽ quy nạp thuộc vấn đề nào đó, ông đã viết: “Trong thựctế, nhiều tính chất số học của các số đã được biết, đều được tìm ra bằngphương pháp quy nạp và được tìm thấy rất lâu trước khi sự đúng đắn củachúng được chứng minh chặt chẽ. Cũng có nhiều tính chất quen thuộc với[3][4]Francis Bacon – Nhà khoa học thực nghiệm hiện đại người Anh [1561 – 1626]Leonhard Euler – Nhà Toán học Thụy Sỹ [1707 – 1783] -8chúng ta nhưng hiện thời chúng ta còn chưa chứng minh được. Chỉ có conđường quan sát và tư duy quy nạp mới có thể dẫn chúng ta đến chânlý”. Như vậy phương pháp quy nạp, tư duy quy nạp của Euler trích trên đâychính là suy luận quy nạp.Trong suy luận quy nạp có hai loại: suy luận quy nạp hoàn toàn và suyluận quy nạp không hoàn toàn.Suy luận quy nạp hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổngquát được rút ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp riêng. Đểchứng minh ∀x ∈ X,A[x] ta có thể sử dụng một trong các định lý sau: A[a1 ] A[a ]Định lý 1 Nếu X={a 1 , a 2 , …,a n } thì 2 ⇒ ∀x ∈ X,A[x]... A[an ]Định lý 1 sử dụng khi tập X là hữu hạn và có số phần tử ít. Nếu sốphần tử của X nhiều thì trong thực hành việc xét tất cả các trường hợpthường là khó khăn.Ví dụ: Chứng minh rằng mọi số chẵn thuộc {4;6;8;…30} đều có thể phântích thành tổng của hai số nguyên tố.Lời giải 4 =2+26 =3+38 =3+510=3+712=5+714=7+716=3+1318=7+1120=7+13 22=11+1124=11+1326=13+1328=11+1730=13+17.Từ đó suy ra mọi số chẵn thuộc {4;6;8;…30} đều có thể phân tíchthành tổng của hai số nguyên tố.Định lý 2∀x ∈ X 1 , A[ x]∀x ∈ X , A[ x]2Nếu X= X k thì ⇒ ∀x ∈ X,A[x]k =1...∀x ∈ X n , A[ x]nĐịnh lý 2 chỉ sử dụng được khi tập X có thể phân thành các tập conmà trong mỗi tập con việc chứng minh tính chất A[x] là đơn giản.Như vậy, ở định lý 2 nếu tập X khó phân thành các tập con thì việcchứng minh bằng suy luận quy nạp hoàn toàn sẽ gặp khó khăn. Theo -9Michal Walicki [[16], tr.43]: Cho tập hợp X, một vấn đề rất điển hình làđể thấy rằng tất cả các phần tử của X thỏa ∀x ∈ X: A[x], làm thế nàongười ta có thể cố gắng chứng minh như vậy. Một trường hợp đặc biệt làkhi X là hữu hạn và chỉ có vài phần tử - trong trường hợp này, chúng tacó thể bắt đầu chứng minh A[x] cho mỗi x riêng biệt.Ví dụ:Chứng minh rằng ∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + yLời giảiXét các trường hợp sau:.Trường hợp 1: x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 0 ta có: x + y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ x + y[đúng với dấu đẳng thức]Trường hợp 2: x ≤ 0, y ≤ 0 ⇒ x + y ≤ 0 ta có:x + y ≤ x + y ⇔ −[ x + y ] ≤ − x − y [đúng với dấu đẳng thức]Trường hợp 3: x ≥ 0, y < 0, x + y ≥ 0 ta có:x + y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ x − y ⇔ 2 y ≤ 0 [đúng, dấu “=” không xảy ra]Trường hợp 4: x ≥ 0, y < 0, x + y < 0 ta có:x + y ≤ x + y ⇔ −[ x + y ] ≤ x − y ⇔ 2 x ≥ 0[đúng, dấu “=” xảy ra khi x=0]Trường hợp 5: x < 0, y ≥ 0, x + y ≥ 0 ta có:x + y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ −x + y ⇔ 2x ≤ 0[đúng, dấu đẳng thức không xảy ra]Trường hợp 6: x < 0, y ≥ 0, x + y < 0 ta có:x + y ≤ x + y ⇔ −[ x + y ] ≤ − x + y ⇔ 2 y ≥ 0[đúng, dấu “=” xảy ra khi y=0]Vì có thể xảy ra một trong các trường hợp trên mà trong mỗi trườnghợp bất đẳng thức đều đúng nên bất đẳng thức đúng ∀x, y ∈ R .Phép suy luận quy nạp hoàn toàn còn có các tên gọi khác như:Phương pháp quy nạp đầy đủ, phương pháp vét cạn, phương pháp xét cáctrường hợp, phương pháp phân khoảng. Do lịch sử, trong tên gọi củaphương pháp trên có thuật ngữ “quy nạp” nhưng thực chất đó là một - 10 trong các phương pháp suy diễn, vì đã dựa trên một số quy tắc tổng quátcủa logic, quy tắc này cho phép chúng ta chia trường hợp tổng quát rathành một số hữu hạn các trường hợp riêng và dùng suy diễn để xét riêngtừng trường hợp.Suy luận quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luậnđược rút ra dựa trên một số trường hợp riêng. Bằng các kí hiệu logic tacó thể diễn đạt phép quy nạp không hoàn toàn như sau:Cho X là một tập hợp nào đó, A[x] là một mệnh đề chứa biến xác địnhtrên X, gọi a 1 , a 2 , …, a n là những phần tử của X. Khi đó:nquy nap∧ A[ak ] [quan sát và kiểm nghiệm] →∀x ∈ X,A[x]k =1[1]Mệnh đề chứa biến [1] là một phỏng đoán quy nạp. Nó có thể đúnghoặc có thể sai. Để chứng minh [1] đúng ta phải dựa vào kết quả đã biếtlà đúng trước đó và các suy luận logic đúng. Tức là phải chứng minhbằng phương pháp suy diễn. Để chứng minh [1] sai ta chỉ cần chỉ ra mộtphản ví dụ, tức là chỉ ra ∃x 0 ∈ X,A[x 0 ] sai , nói cách khác là chứng minhmệnh đề phủ định của [1] là ∃x ∈ X,A[x] .Ví dụ: Khi nghiên cứu về tập các số nguyên tố P, nhà toán học22 + 1 = 5 ∈ P122 + 1 = 17 ∈ P2Fermat[5]đã dựa trên một số trường hợp cụ thể như:22 + 1= 257 ∈ P3+ 1 65537 ∈ P22 =4và đi đến khẳng định 22 + 1∈ P, ∀n ∈ N kết luận này không đúng vìnEuler đã chỉ ra một phản ví dụ là 22 + 1 641 .5Theo Michal Walicki [[16], tr.43]: Một tình trạng phổ biến hơn là Xcó các yếu tố vô hạn. Cho X = {2i: i∈ Z}, x∈X. Khi đó, theo định nghĩacủa X, có một số i∈ Z sao cho x=2i là một số chẵn. Tất nhiên, trong hầuhết các trường hợp, các mối quan hệ giữa định nghĩa của X và cái chúngta muốn chứng minh là không đơn giản. Và một câu hỏi được đặt ra:[5]Pierre Fermat–Nhà toán học Pháp [1601-1665] - 11 "Làm thế nào để đảm bảo rằng chúng ta kiểm tra cho tất cả các phần tửcủa X và chúng ta có thể làm điều đó trong thời gian hữu hạn [vì nếukhông thì sẽ không bao giờ kết thúc việc chứng minh]?" Ý tưởng củachứng minh bằng PPQNTH trả lời cụ thể cho câu hỏi này. Nó cho chúngta thấy phải tìm một thứ tự có cơ sở của các phần tử của X và sau đó tiếnhành theo mẫu sau: có người trình bày báo cáo cho phần tử nhỏ nhất vàsau đó tiến tới các phần tử lớn theo trật tự. Bí quyết là đảm bảo rằng cácbước hữu hạn của chứng minh là cần thiết để kết luận sẽ đúng với tất cảcác phần tử của X.“A more common situation is that X has infinitely many elements. Let X = {2i:i∈Z} and show that each x ∈ X is an even number. Well, this is trivial by the waywe have defined the set. Let x be an arbitrary element of X. Then, by definition ofX, there is some i ∈ Z such that x = 2i. But this means precisely that x is an evennumber and, since x was assumed arbitrary, the claim holds for all x ∈ X. Ofcourse, in most situations, the relation between the definition of X and the propertywe want to prove isn’t that simple. Then the question arises: “How to ensure thatwe check the property for all elements of X and that we can do it in finite time[since otherwise we would never finish our proof]?” The idea of proof bymathematical induction answers this question in a particular way. It tells us that wehave to find some well-founded ordering of the elements of X and then proceed ina prescribed fashion: one shows the statement for the minimal elements and thenproceeds to greater elements in the ordering. The trick is that the strategy ensuresthat only finitely many steps of the proof are needed in order to conclude that thestatement holds for all elements of X”.Tóm lại, phương pháp suy luận quy nạp là một phương pháp tư duy dùngđể tìm tòi, dự đoán các kết luận mới, không là một chứng minh chặt chẽ. Suyluận quy nạp hoàn toàn là một phương pháp chứng minh các tính chất của mộttập hữu hạn và luôn cho kết luận đúng. Kết luận của suy luận quy nạp hoàntoàn chỉ khái quát được những trường hợp đã biết, chứ không đề cập đến cáctrường hợp chưa biết. Vì thế, suy luận quy nạp hoàn toàn tuy đầy đủ, chắcchắn nhưng nó không mang lại điều gì mới so với những điều nêu ra trong tiềnđề. Suy luận quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn đến kết luận đúng hoặc sai.Trong suy luận quy nạp không hoàn toàn, tập hợp đang xét thường là tập hợpvô hạn, do vậy không thể là suy luận quy nạp hoàn toàn được. - 12 I.1.2 Phương pháp quy nạp toán họcTheo G.Polia [[15], tr.5] định nghĩa nguyên lý quy nạp như sau:Về giả thuyết chỉ cần biết hai điều:•Nó đúng với n = 1;•Nếu nó đúng đối với n thì cũng đúng cả đối với n + 1.Khi đó giả thuyết đúng đối với tất cả các số nguyên dương n: nó đúngvới 1, vậy cũng đúng với 2; nó đúng với 2, vậy cũng đúng với 3;…Ởđây có một biện pháp chứng minh vô cùng quan trọng, ta có thể gọi nólà “sự chuyển từ n sang n + 1”, nhưng thường thường người ta gọi nólà “phương pháp quy nạp toán học”.PPQNTH là một phương pháp chứng minh chặt chẽ trong toán học, sửdụng nguyên lý quy nạp nhằm chứng minh các hàm mệnh đề A[n] đúng vớimọi số tự nhiên n [hoặc tổng quát hơn, với mọi phần tử thuộc một tập hợp vôhạn đếm được]. PPQNTH không phải là phương pháp suy luận quy nạp.Theo G.Polia thì “PPQNTH là một tên gọi rất không đạt của một phépchứng minh” và theo ông thì “Trong một vài trường hợp, PPQNTH có quanhệ hợp tác với suy luận quy nạp không hoàn toàn như sau: PPQNTH là mộtphương pháp chứng minh, phương pháp này thường có ích để chứng minhcác mệnh đề toán học, mà các mệnh đề đó đã được tìm ra nhờ một quá trìnhsuy luận quy nạp không hoàn toàn nào đó”.Tóm lại, suy diễn là loại suy luận trong đó tư tưởng đi từ nguyên lý chungđến kết luận riêng biệt. Suy luận quy nạp là suy luận mà trong đó tư tưởng đi từhiểu biết riêng biệt, cụ thể đến nguyên lý chung. Còn PPQNTH là phép suy luận đặcbiệt trong đó mệnh đề cần chứng minh có thể được dự đoán từ một suy luận quynạp.Chúng tôi sẽ điểm qua một vài thời điểm tiến triển lịch sử của PPQNTHtrong đoạn tiếp theo. - 13 I.2 Điểm qua vài nét lịch sử về PPQNTHTrong toán học, PPQNTH được xem là một phương pháp chứng minhnhiều khẳng định liên quan đến tập vô hạn đếm được, có dạng hàm mệnh đề:“A[n], ∀ n ≥ k; n, k ∈ N”. Chúng tôi chia lịch sử PPQNTH thành hai giaiđoạn phát triển với các quan niệm khác nhau: giai đoạn chưa có định nghĩasố tự nhiên N và giai đoạn có định nghĩa số tự nhiên N.I.2.1Giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N [Trước thế kỷ XIX]a. Lý luận bằng tính chất giảm vô hạn của Fermat [1621]Theo nghiên cứu của V.Battie [2003]: Fermat đã khám phá ra tínhchất giảm vô hạn khi chứng minh bài toán “Không tồn tại tam giác vuôngPythagoras[6] có diện tích là một số chính phương”. Trong chứng minh củamình Fermat sử dụng phép chứng minh phản chứng theo tiến trình sau: Giảsử tồn tại tam giác thỏa điều kiện → luôn chỉ ra được một tam giác thỏamãn: có cạnh huyền nhỏ nghiêm ngặt hơn cạnh huyền của tam giác ban đầu→ mâu thuẫn với tính chất: mọi dãy giảm nghiêm ngặt các số tự nhiên đềuhữu hạn. V.Battie hình thức hóa phương pháp này như sau: […] Cho tập hợpS, t : S → N là một ánh xạ. Ta giả sử rằng với mọi phần tử x của S, tồn tại ytrong S sao cho t[y] < t[x]. Ta kết luận rằng S = ∅ [V.Battie [17], tr.37].Tính chất giảm vô hạn chính là một phát biểu tương đương của tính sắp thứtự tốt[7] của N - tính chất cơ sở của PPQNTH. Chúng ta có thể tìm thấy trongnghiên cứu của V.Battie chứng minh bài toán “Không tồn tại tam giác vuôngPythagoras có diện tích là một số chính phương” bằng một lý luận tươngđương mà thực chất là phép phủ định của PPQNTH.Tóm lại, phương pháp dựa trên tính chất giảm vô hạn của Fermathoàn toàn tương đương với PPQNTH. Nói cách khác, nếu ta dùng tính giảm[6][7]Tam giác vuông Pythagoras–Các cạnh của tam giác vuông này đều là số nguyên.Tính sắp thứ tự tốt–Mọi tập con khác rỗng của N đều có phần tử nhỏ nhất.Thật vậy, giả sử X là một tập hợp không rỗng của những số tự nhiên và X không có phần tử nhỏ nhất.Gọi B là một tập hợp các số tự nhiên xác định bởi: ∀n ∈ N , n ∈ B và ∀m ∈ N , m ≤ n ⇒ m ∉ X . Ta thấy 0 ∈ B , vìnếu không thì số 0 sẽ là số nhỏ nhất trong X, điều này trái với giả thiết đã nêu ở trên.Giả sửn∈Bta có∀m ∈ N , m ≤ n ⇒ m ∉ X , như vậyn + 1∉ X , vì nếu không thì n + 1 sẽ là số nhỏ nhất trong Xtrái với giả thiết.Theo tiên đề quy nạp toán học ta có với mọi số tự nhiên thuộc B, thì X là tập hợp rỗng [vô lý]. - 14 vô hạn để chứng minh rằng một mệnh đề nào đó liên quan đến các số nguyêndương là không thể xảy ra thì tương đương với việc mệnh đề phủ định của nóthỏa mãn một tập vô hạn các số nguyên dương. Tuy nhiên, trong giảng dạytoán ở THPT hiện nay chỉ có PPQNTH được chọn.b. Chứng minh bằng nguyên lý quy nạp toán học của Pascal[ 8][1653]Nguyên lý quy nạp toán học được Pascal sử dụng lần đầu tiên trongsách chuyên luận về tam giác số học [ngày nay chúng ta gọi là tam giácPascal]. Tam giác Pascal là một bảng hai chiều mà thuật toán xây dựng bảngnày cho phép dễ dàng tính toán số tổ hợp Cnr+1 căn cứ vào công thức truy hồi:n0với mọi n ∈ N, C=C=1 và với mọi n và r khác không với r < n ta cónnCnr+1 = Cnr −1 + Cnr .n; r01234567890111121213133141464151510 105161615 20 156171721 35 35 217181828 56 70 56 288191936 84 126 126 84 36911011045 120 210 252 210 120 4510101Khi ta tính một hệ số trong tam giác Pascal, ta phải áp dụng quy tắctruy hồi bằng cách dựa vào hai số đã tìm được ở cạnh đáy trên. Phép tính nhưvậy dựa vào công thức tường minh mà ngày nay chúng ta có thể viết như sau:[8]Blaise Pascal–nhà Toán học Pháp [1623-1662]